整体思想在数学中的应用

1学号：2008311421哈尔滨师范大学学士学位论文题目整体思想在数学中的应用学生尹成文指导教师李持磊讲师年级2008级专业应用数学系别数学与应用数学学院数学科学学院2哈尔滨师范大学学士学位论文开题报告论文题目整体思想在数学中的应用学生姓名尹成文指导教师李持磊年级2008专业数学与应用数学2012年03月3课题来源：自拟题目课题研究的目的和意义：整体思想是数学解题方法中比较常用的方法，因此，了解和掌握其在方法论上的意义和特点，对拓宽解题思路和培养积极活跃的解题思维有着非常重要的意义。在一些数学问题解题时，我们往往习惯了从局部出发，将问题分解成为多个单一的子问题，然后针对每个小问题进行分析来达到解决整个问题的目的。但这种方法有时会使解题过程变得更加繁琐、极大的增大了运算量，有时甚至根本不能达到解题的目的而最终以失败告终，因此整体思想对我们的意义是很大的。国内外同类课题研究现状及发展趋势：整体思想作为一种数学方法，在解题过程中起到至关重要的作用，越来越引起人们的重视。整体思想从宏观上来审视问题，从整体上把握问题的来龙去脉，避免了从小处入手走入迷宫的怪圈，让视线跳出那些细节的遮掩，让我们可以迅速找到解决问题的方法。整体思想最为困难的地方在于如何树立起整体思想的概念，灵活运用，从而避免是问题复杂化，因此在未来的一段时间里，我们要加强的是从树立整体思想的概念入手。让学生能够灵活掌握并能够应用到实际解题中去，这对学生未来的思维方式和解题方法都有好处。当然如果过度的应用整体思想反而会适得其反，因为有些题是不能应用整体思想的，因此灵活应用至关重要。4课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法：本文讨论了整体思想的意义和在解题中的具体应用。从整体代入、整体定位、整体转化、整体配对等方面，对整体思想的思想方法进行阐述，从解题的具体应用入手，对整体思想进行全方面分析，培养学生在整体上把握分析解决问题的能力。其中最主要的问题就是要树立整体思想的概念，让整体思想能够为我所用，这是很关键也是很困难的一步，因此我们要在日常生活中不断的循序渐进，让整体思想深入人心，并能够灵活应用。这不但要靠教育，而且要靠生活实践，因此我们要给学生更多的实践机会。课题研究起止时间和进度安排：2011年11月至2011年12月选题与资料收集整理阶段2011年12月至2012年1月阅读文献阶段2012年1月至2012年2月与老师讨论阶段2012年2月至2012年3月论文修改定稿阶段2012年3月至2012年4月论文完成5课题研究所需主要设备、仪器及药品：外出调研主要单位，访问学者姓名：6指导教师审查意见：指导教师（签字）年月教研室（研究室）评审意见：____________教研室（研究室）主任（签字）年月院（系）审查意见：____________院（系）主任（签字）年月7学士学位论文题目关于整体思想在数学中的应用的研究学生尹成文指导教师李持磊讲师年级2008级专业应用数学系别数学与应用数学学院数学科学学院哈尔滨师范大学2012年03月8关于整体思想在数学中的应用的研究摘要：本文讨论了整体思想的意义和在解题中的具体应用。从整体代入、整体定位、整体转化、整体配对等方面，对整体思想的思想方法进行阐述，从解题的具体应用入手，对整体思想进行全方面分析，培养学生在整体上把握分析解决问题的能力。关键词：整体思维数学解题应用一、引言我们生活的现实世界很多事都是复杂多变的，同样的，在有些数学问题中的一些问题也同样很复杂。在解决这些问题的过程中，我们常常被一些细节问题所蒙蔽，从而很难找到解决问题的方法。然而如果我们能够用整体的眼光看待这些问题，从宏观上、整体上看待这些问题，也许会很容易就将这些问题解决。为了避免“只见树木，不见森林”的局限性，树立起整体思想是很重要的，在一些情况下可能会很容易解决一些难题，因此掌握整体思想的精髓还是十分必要的。二、整体思想的意义整体思想是数学解题方法中比较常用的方法，因此，了解和掌握其在方法论上的意义和特点，对拓宽解题思路和培养积极活跃的解题思维有着非常重要的意义。在一些数学问题解题时，我们往往习惯了从局部出发，将问题分解成为多个单一的子问题，然后针对每个小问题进行分析来达到解决整个问题的目的。但这种方法有时会使解题过程变得更加繁琐、极大的增大了运算量，有时甚至根本不能达到解题的目的而最终以失败告终。为了解决这些问题，我们有时要跳出这个怪圈，站在更高的角度来观察这个问题，从整体入手，把握整个问题的来龙去脉。从宏观的角度来分析问题，把注意力和着眼点放在问题的整体上，突出对问题整体结构的分析和认识，发现问题的整体结构特征，把一些看似孤立实质紧密相连的量作为一个整体来处理。当我们有意识的放大考察问题的视角和高度，我们会发现问题是如此简单，有一种一览众山小的感觉，这就如诗里所说的“不识庐山真面目，只缘身在此山中”。当我们发现这些隐含的整体结构，并利用这个整体对问题进行考察，加以适当的调节和转化，常常能够快速的解决这些难题。这里我们可以看到整体思想的重要性和使用价值，因此掌握整体思想对于解决一些数学问题来说是很有必要的，从生活的角度来说，我们有时在遇到困难没办法解决时，也可以试着采用这样的方法跳出那些细小的琐事，从宏观的角度来思考问题我们就会豁然开朗。整体是思想从问题的整体入手，把握问题的答题脉络，从更高的角度来把握问题的内容和解题方向的策略。它的表现形式主要有整体代入、整体加减、整体换元、整体联想、整体补形、整体构造、整体代换等。运用整体思想解题不仅可以摆脱固定模式的束缚，使复杂的问题变得简单，陌生的问题变得熟悉，而且还可以解决按常规方法解决不了一些问题。9（一）整体思想的某些数学方法特征一个数学问题在经过整体思维方法的处理之后,就会变成另外一个新的问题,其变化的过程中体现了一些数学思想，下面对这些变化所体现的数学思想进行简单的描述。一、转化后新的问题比原问题要更加简单和容易,并变成我们所更为熟悉的问题,体现了由未知到已知、由难到易、由繁到简的化归思想。事实上,整体思想的解题方法应属于化归法的范畴,如“整体配对”等都是化归法中求变法的一种。这里对化归思想进行简单陈述：化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略。所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。总之，化归在数学解题中几乎无处不在，化归的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决。实现这种转化的方法有:待定系数法,配方法,整体代入法以及化动为静,由抽象到具体等转化思想。二、整体思维与人们习惯的将问题分解为若干简单的小问题后,再对其各个处理的解题思想不同,它是将考察问题的“视角”放大,通过对问题的整体形式、整体结构以及问题的条件与结论在其中的地位和作用的调节与转化,以得到易于处理的新问题。整体思想处理的是更高层面上的宏观联系，以求通过避开那些细节的繁琐计算来达到快速解题的方法。三、运用整体思想解题,得到的新问题的表现形式和处理方式通常与原问题有较大差异。这种不同在一定程度上反映了数学抽象的思想，因为整体思想从另一个角度看来也是一种抽象。（二）整体思想蕴含的某些数学美的特征所有数学思想方法都蕴含着没的特征。整体思想同样具有它的美的特征，正因为如此我们将它作为一种重要的解题策略，在数学解题中占有重要地位。下面就数学美的两种主要特征进行进一步讨论。数学美有很多种类，如语言美、简洁美、和谐美、奇异美等，其中的主要特征之一就是简单美。爱因期坦说过：“美，本质上终究是简单性。”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。朴素，简单，是其外在形式。只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。这种简单性通常表现在数学结构、数学方法和数学形式等方面的简化。从应用整体思想处理问题的过程,容易发现这种简单美的存在。事实上,我们在应用“整体配对”时,就是利用与其相匹配的另一个整体对原问题进行“补缺”而得到结构形式更为简单的新问题。在应用“整体代入”处理问题时,即对原问题局部进行“积零为整”的处理,使其形式和方法变得更简单。数学美的另一主要特征是对称性。在古代“对称”一词的含义是“和谐”、“美观”。毕达哥拉斯学派认为，一切空间图形中，最美的是球形；一切平面图形中，最美的是圆形。圆是中心对称圆形――圆心是它的对称中心，圆也是轴对称图形――任何一条直径都是它的对称轴。对称美的形式很多，对称的这种美也不只是数学家独自欣赏的，人们对于对称美的追求是自然的、朴素的。如我们喜爱的对数螺线、雪花，知道它的一部分，就可以知道它的全部。李政道、杨振宁也正是由对称的研究而发现了宇称不守恒定律。从中我们体会到了对称的美与成功。在应用整体思想时,数学的对称美也有充分的展示,容易看到,在应用“整体配对”时,如何“配对”以及应“配”些什么,都是在对称性的引导下进行的。（三）整体思想的某些辩证思想特征10将哲学中的辩证法应用到数学思维方法上,对我们深入了解数学的实质,特别是了解与掌握数学思想方法,提高解决数学问题的能力,是十分重要的。数学和哲学的密切关系,主要表现在以下四个方面:1.在古代,哲学和科学还没有分化,它们处于浑然一体之中,哲学是以知识总汇的形式出现,是包括一切理论科学在内的知识总汇,数学包括在哲学中,没有从哲学中分离出来。2.数学和哲学都有高度的抽象性。数学的抽象性是暂时撇开事物的具体内容,仅仅从抽象的方面去进行研究。(1)数学的抽象有三个特点:第一，它舍弃了事物的具体内容,而只保留了空间形式和数量关系。第二，数学的抽象是经过一系列的阶段而形成的。从最原始的数学概念到现代数学中的函数、复数、微分、积分、泛涵、n维乃至无限维空间等抽象概念都是从具体到抽象不断深化的过程。第三，不仅数学概念是抽象的,而且数学方法也是抽象的。数学研究方法主要是思维方法,而且表述数学的研究成果即数学理论只能用演绎方法。(2)哲学更是高度抽象的学科,它的抽象性主要表现在三个方面:第一，从哲学研究的对象来看,哲学是关于世界观的学问,是系统化、理论化的世界观。哲学是一种学问或学说,它是经过了抽象、概括的,是系统化、理论化的世界观,是按照一定的原则,逻辑地连贯起来的理论体系。哲学不仅要对关于整个世界的一般问题做出回答,提出一定的观点、原理和原则,而且要对这些观点、原理和原则做出理论的解释和逻辑的论证。所以,从哲学的对象来看,哲学的对象是抽象的。第二，从哲学和具体科学的关系来看,哲学是自然知识、社会知识和思维知识的概括与总结。具体的自然知识、社会知识和思维知识只是关于世界某一局部、方面、领域的规律性知识,哲学则是从这些具体科学知识中抽象概括出来的最一般的知识。所以,从哲学和具体科学的关系来看,哲学比具体科学更抽象。第三，从哲学的基本问题来看,哲学的基本问题是物质和意识的关系问题。世界上存在千差万别、无限丰富的事物、客体、系统及其属性和关系等等,物质就是它们的总和。所以,哲学也有高度的抽象性。3.数学以其成果推动着人类哲学思想的发展。从古代、近代到现代,数学始终影响着哲学,哲学家或者用数学的成果来论证其哲学思想,或者对数学的成果进行抽象概括,建立其哲学理论。在古代,哲学家的任务是探求宇宙的奥秘。在近代,哲学家的任务是探索认识规律和人的认识界限。在现代,数学对哲学有着广泛而深刻的影响。数学有严密的逻辑性,这使哲学家重视对逻辑的研究和运用。4.哲学思想可以影响数学家及其研究成果的获得数学的产生和发展,归根结底是由人类的实践活动决定的。但是,哲学思想对数学的发展,也有着一定的促进或阻碍作用。例如,柏拉图的理念论哲学、欧洲中世纪基督教哲学、马克思主义哲学都对数学有影响作用,只不过它们有的是促进作用,有的是阻碍作