微积分经济类考研基础习题第二章导数与微分

1微积分经济类考研基础习题第二章导数与微分一、填空题1.曲线xxfcos)(上点)21,3(处的切线方程和法线方程__________.2.曲线323232ayx在点)42,42(aa切线和法线方程__________.3.曲线tytx2cossin在点4t处切线和法线方程__________.4.已知1)(,0)('afaf,则极限1lim()nnfan__________.5.若抛物线2axy与曲线xyln相切,则a__________.6.设a是实数，函数1,01,1cos)1(1)(xxxxxfa，则当)(xf在1x处可导时，a必定满足__________.7.设函数1,1,)(2xbaxxxxf为了使函数在1x处连续且可导，ba,必定满足__________.8.设函数)(uf二阶可导，且)(lnxfy,则y__________.9.设xxxf)11()(,则'1()2f__________.10.设xxxy，求'y__________.11.若0,00,1arctan)(2xxxxxf，则)0(f__________，)(xf__________，0()limxfxx__________.二、选择题21.若)(xf在0xx点处可导，则有（）.（A）)()()2(lim0'000xfhxfhxfh（B）)()()(lim0'000xfhxfhxfh（C）)()()(lim0'000xfhhxfxfh（D）)()()(lim0'000xfhhxfhxfh2.曲线xysin2在0x处的切线与x轴正向的夹角为（）.（A）2（B）4（C）0（D）13.函数1ln)(xxf的导数是（）.（A）11)('xxf（B）11)('xxf（C）xxf11)('（D）1,111,11)('xxxxxf4.设xxxf2ln)(在0x处可导，且2)(0'xf,则0()fx（）.（A）１（B）2e（C）e2（D）2e５.若)(xf是奇函数且)0('f存在,则0x点是函数xxfxF)()(的（）.（A）无穷间断点（B）可去间断点（C）连续点（D）振荡间断点三、计算题1.设210)(xxf，按导数定义求)1('f.2.设1,1,)(2xbaxxxxf为使函数)(xf在1x处连续且可导，ba,应取何值？33.求下列函数的导数（1）223)1(xxy；（2）1sectan2xxy；（3）xeyxtan3；（4）xxysin；（5）xxxycosln2；（6）)2sin(coscos)2sin(xxxxxxs.4.求下列函数在给定点的导数（1）cos21sin，求4dd.（2）553)(2xxxf，求)0('f和)2('f.5.求下列函数的导数（1）xxyarcsin；（2）xxy2tan10；4（3）xeyarctan；（4）(ln)(1)xyxx；（5）xayx（0a且为常数）；（6）axyx，（a为常数）.6.设)(xf可导,求dxdy.（1）)(2xfy；（2）)(cos)(sin22xfxfy.7.求下列函数的导数.（1）)sin(sin22xxy；（2）xxy；（3）242arcsinxxy；（4）xxy11arctan.8.求下列函数的导数（1）)arcsin(sinxy；（2）)tan)(ln(cos2tanlnxxxy；（3）)1ln(2xxeey；（4）)0(xxyx.59．求下列函数的二阶导数（1）113xy；（2）2xxey.10.求函数xeyxcos的4阶导数.11.求由方程1sinyxey所确定的隐函数的导数dxdy.12.设xyyxarctanln22，求dxdy.13.求由方程yxey1所确定的隐函数的2阶导数22dxyd.14.求下列函数的导数（1）xxxy)1(；（2）54)1()3(2xxxy.15.求函数3)5)(4()3)(2(xxxxy的导数.616.已知xxy3，计算在2x处当x分别等于1，0.1，0.01时的y及dy.17.求下列函数的微分（1）21arcsinxy；（2）2211arctanxxy.四、证明题1.证明双曲线2axy上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a.2.讨论函数)(xf的)0('f及)0('f,又)0('f是否存在.（1）0),1ln(0,sin)(xxxxxf（2）0,00,1)(1xxexxfx.3.讨论函数0,00,1sin)(xxxxxf在0x处的连续性和可导性.74.设函数0,00,1sin)(xxxxxfa，问a满足什么条件,)(xf在0x处，（1）连续；（2）可导；（3）导数连续.5.已知)2002()2)(1()(xxxxy,求)2002('y.6.求函数2cot)2(tanxxy的导数.7.若)(xf可导，求)0,()],()([limbanbxfnaxfnn.8.设nxaxaxaxfnsin2sinsin)(21，且xxfsin)(，求证：1221nnaaa.9.设)(xf满足xxfxf3)1(21)(，求)('xf.