哈尔滨工业大学2014秋数值分析试题及答案

1.若是fx的r重根（1r为整数），且fx在根的邻域内有充分多阶导数，试证明：求根的Newton迭代法收敛，且收敛阶为1。解：是fx的r重根，则有10rfff，有Newton迭代函数112121!11!1rrrrrrfxxxfxffxfxrxffxfxrfxxrf其中12,,x，考虑到，于是有1lim10xxxr，由于1r，则1，所以此时Newton迭代法收敛且收敛阶为1。2.对于迭代函数22xxcx，根据局部收敛定理及收敛阶判定定理，试讨论：（1）当c为何值时，1,0,1,2,kkxxk产生的序列kx收敛于2；（2）c取何值时收敛阶至少为2阶？解：（1）12xcx，要求1,0,1,2,kkxxk收敛，应有1，即121c，解得10c，且2，故当102c（2）当0时，迭代至少2阶收敛此时应有120c，即取122c。3.用Doolittle三角分解法求解下面的线性方程组：123126125151615460xxx。解：由Doolittle三角分解ALU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，得1112131112132122232122233132333132333310000000aaauuuaaaluuaaalllu即126100126251521001361546631001原方程变为LybUxy，解得1,3,3,7,12,3TTyx。4.设方程组1231231230.40.410.40.820.40.83xxxxxxxxx，试考察解此方程组的Jacobi迭代法及Gauss-Seidel迭代法的收敛性。解：Jacobi迭代法的迭代矩阵为100.40.40.400.80.40.80JBDLU20.80.80.32JIB1.09282031JB，故Jacobi迭代法不收敛；Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为100.40.400.160.6400.0320.672GBDLU0.81GGBB，故Gauss-Seidel迭代法收敛。5.给定线性代数方程组123310302342145xxx，给出Gauss-Seidel迭代格式，并分析该格式的收敛性。解：Gauss-Seidel迭代格式为11112213301/301003/2201/63/81/4kkkkkkxxxxxx，迭代矩阵G的特征方程为1/3003/2001/63/8解得特征值为1233733730,,1616，谱半径为3730.7215116G,所以Gauss-Seidel迭代法收敛。6.若用等距节点的分段二次插值对函数xfxe在44x上进行插值，要使误差不超过610，使用的步长（节点间距）h应取多少？解：以11,,iiixxx为等距插值节点，有11,iiiixxhxxh且插值多项式误差为1111411443313!1max612163393iiiiiiiixxxRxfxxxxxxexxxxxxeehh令4361093eh，得0.00658h。7.求函数1fxx在区间1,3x上关于1,spanx的最佳平方逼近多项式。解：设011,xxx，fx在中的最佳平方逼近多项式为0011pxaxax，且01,aa满足如下法方程000100101111,,,,,,fafa，即0124ln3426/32aa，解得0113ln361.140978,33ln30.2958362aa，所求最佳平方逼近多项式为1.1409780.295836pxx。8.设21,spanx，试在中求fxx在区间1,1上的最佳平方逼近多项式。解：设2011,xxx，fx在中的最佳平方逼近多项式为0011pxaxax，且01,aa满足如下法方程000100101111,,,,,,fafa，即0122/312/32/51/2aa，解得013/16,15/16aa，所求最佳平方逼近多项式为23151616pxx。9.已知一组实验数据x2346y0.7600.3400.1900.085试用最小二乘法确定拟合公式byax中的参数,ab。解：对byax两边取对数得lnlnlnyabx，令01ln,ln,ln,lnYyaaabXx，则拟合函数变为1aYaaX，所给数据转化为X0.69311.09861.38631.7918Y-0.2744-1.0788-1.6607-2.4651则对应法方程为441104442111144.96985.47904.96986.81978.0946iiiiiiiiiiiXYaaXXXY，解得011.1098,1.9957aa，即所求拟合函数为1.10981.9957YX1.10981.99571.10981.9957ln1.99573.0338YXxyeeeex。10.已知sx是0,2上的已知自然边界条件的三次样条函数，试确定32312,012111,12xxxsxbxcxdxx中的参数,,bcd。解：由三次样条函数定义，及自然边界条件20s可得233112331123311232lim12lim2111lim12lim2111lim12lim2111lim21110xxxxxxxxxbxcxdxxxbxcxdxxxbxcxdxbxcxdx，即22126260bccd，解得1,3,1bcd。11.已知函数45fxx，（1）试求过1,0,1,2四个点的Newton插值多项式3Nx，并给出插值余项Ex；（2）求差商1,0,1,2,3f与1,0,1,2,3,4f。解：（1）由45fxx知，15,00,15,280ffff，计算差商表得-1500-51505280251510所以33255151101110510Nxxxxxxxxxx，且余项为4323510510ExfxNxxxxx；（2）由差商与导数的关系01,,,!jjffxxxj可得451,0,1,2,354!1,0,1,2,3,405!ffff。12.已知函数值表x-2-1012y01210试用二次多项式2012yaaxax拟合这组数据。解：记点-2，-1，0，1，2分别为01234,,,,xxxxx，由离散内积定义44,jjjfgfxgx可得法方程系数矩阵为44422000444223000222244423400011,11,1,5010,1,,010010034,1,,jjjjjjjjjjjjjjjjjxxxxGxxxxxxxxxxxxxxxx法方程右端项为44422000,1,,,,,,4,0,2TTTjjjjjjjjbyyxyxyyxyx，解法方程Gab，得012583,,,0,357TTaaaa，那么所求拟合多项式为：2583357yx。13.确定求积公式1010hhfxdxAfhAfAfh中的待定参数，使其代数精度尽量的高，并指明求积公式所具有的代数精度。解：为使公式具有尽量高的代数精度，将21,,fxxx代入公式两端，并令左右相等，得10111223112023AAAhhAhAhAhAh解得101848,,333AhAhAh，公式至少具有2次代数精度，且当3fxx时，左=右=0，但当4fxx时，左525h，右423h，左右，所以公式的代数精度为3。14.给出计算积分bafxdx的梯形公式，及n等分区间,ab的复化梯形公式；并讨论若用复化梯形公式计算积分10xIedx，问区间0,1应分多少等分才能使得误差不超过51102？解：梯形公式为2baTfafbn等分区间,ab，取步长bahn，分点为ixaih，则复化的公式为1102nniiihTfxfx，由复化梯形公式的误差及误差不超过51102得22511110,0,112122nbaEfhfen即2510,212.856enn，取213n。15.求3个不同的求积节点012,,xxx，使得求积公式10121122ftdtfxfxfx具有尽可能高的代数精度。解：为使求积公式具有3次代数精度，当且仅当231,,,fxxxx时，公式两边相等，即012222012333012221202122231202xxxxxxxxx解得01222,0,33xxx所以求积公式为1112220233ftdtfff，且当4fxx时，左25，右49，左右，所以公式具有最高代数精度3。16.用Romberg积分法计算12041dxx，精确到51102。解：按龙贝格积分法计算步骤如表所示k0,kT1,1kT2,2kT0313.13.13333323.1311763.1415683.14211833.1389883.1415923.141594实际上12043.14159261dxx由于52,11,21102TT，所以，取2,13.141594TI。17.用幂法计算矩阵732341213A