大学物理A第六章习题选解

第六章真空中的静电场习题选解6-1三个电量为q的点电荷各放在边长为r的等边三角形的三个顶点上，电荷(0)QQ放在三角形的重心上。为使每个负电荷受力为零，Q之值应为多大？解：以三角形上顶点所置的电荷(q)为例，其余两个负电荷对其作用力的合力为1f，方向如图所示，其大小为题6-1图22221004330cos42rqrqf中心处Q对上顶点电荷的作用力为2f，方向与1f相反，如图所示，其大小为2233200434rQqrQqf由12ff，得33Qq。6-2在某一时刻，从238U的放射性衰变中跑出来的粒子的中心离残核234Th的中心为159.010rm。试问：（1）作用在粒子上的力为多大？（2）粒子的加速度为多大？解：（1）由反应238234492902UTh+He，可知粒子带两个单位正电荷，即19123.210QeCTh离子带90个单位正电荷，即1929014410QeC它们距离为159.010rm由库仑定律可得它们之间的相互作用力为：-q-q-qQ1f2f1919912215203.21014410(9.010)5124(9.010)QQFNr（2）粒子的质量为：2727272()2(1.67101.6710)6.6810pnmmmKg由牛顿第二定律得：282275127.66106.6810Famsm6-3如图所示，有四个电量均为Cq610的点电荷，分别放置在如图所示的1，2，3，4点上，点1与点4距离等于点1与点2的距离，长m1，第3个电荷位于2、4两电荷连线中点。求作用在第3个点电荷上的力。解：由图可知，第3个电荷与其它各电荷等距，均为22rm。各电荷之间均为斥力，且第2、4两电荷对第三电荷的作用力大小相等，方向相反，两力平衡。由库仑定律，作用于电荷3的力为题6-3图题6-3图NrqqF2213310108.141力的方向沿第1电荷指向第3电荷，与x轴成45角。6-4在直角三角形ABC的A点放置点电荷Cq91108.1，B点放置点电荷Cq92108.4，已知0.04,0.03BCmACm，试求直角顶点C处的场强E。解：A点电荷在C点产生的场强为1E，方向向下1421101108.141mVrqEB点电荷在C点产生的场强为2E，方向向右1422202107.241mVrqE题6-4图根据场强叠加原理，C点场强1422211024.3mVEEE设E与CB夹角为，21tanEE122arctanarctan33.73EE6-5如图所示的电荷分布为电四极子，它由两个相同的电偶极子组成。证明在电四极子轴线的延长线上，离中心为r（err）的P点处的电场强度为4043rQE，式中22eqrQ，称为这种电荷分布的电四极矩。题6-5图解：由于各电荷在P点产生的电场方向都在x轴上，根据场强叠加原理22200024()44()PeeqqqErrrrr2222222062[]4()eeerrrqrrr由于err，式中2er可略去40262204664rqrrrrqEeeP又电四极矩22eqrQ故4043rQEP题6-5图6-6如图所示，一根很长的绝缘棒，均匀带电，单位长度上的电荷量为，试求距棒的一端垂直距离为d的P点处的电场强度。解：建立如图所示坐标，在棒上任取一线元dx在P点产生的场强为dE题6-6图)(4)(44220222020dxdxdxdxrdqdE场强dE可分解成沿x轴、y轴的分量22sindxxdEdEdEx22cosdxddEdEdEy题6-6图0232220)(24dxdxdEExx1222002()8dxd001()44dd31022222200020444()()yyddxdxEdEdxddxdP点场强dEEEyx02242方向与Y轴夹角为arctan45xyEE6-7一根带电细棒长为l2，沿x轴放置，其一端在原点，电荷线密度Ax（A为正的常数）。求x轴上，lbx2处的电场强度。解：在坐标为x处取线元dx，带电量为Axdxdq，该线元在P点的场强为dE，方向沿x轴正方向20)2(4xlbdqdE整个带电细棒在P点产生的电场为lxlbAxdxdEE2020)2(4题6-7图xlbdxlblbxlbAl222242020])2()2()2()2(2)2([420202220llxlbxlbdlbxlbxlbdA2220000(2)1ln(2)84(2)llAAblblxblx)22(ln40bllbbA场强E方向沿x轴正方向6-8如图所示，一根绝缘细胶棒弯成半径为R的半圆形。其上一半均匀带电荷q，另一半均匀带电荷q。求圆心O处的场强。解：以圆心为原点建立如图所示Oxy坐标，题6-8图在胶棒带正电部分任取一线元dl，与OA夹角为，线元带电荷量dlRqdq2，在O点产生电场强度dRqdlRqRdqdE202302202424把场强dE分解成沿x轴和y轴的分量sindEdExcosdEdEy22222000sin22xxqqEdEdRR22222000cos22yyqqEdEdRR题6-8图同理，胶棒带负电部分在O点的场强E沿x轴方向的分量xE与xE大小相等，方向相同；沿y轴方向的分量yE与yE大小相等，方向相反，互相抵消，故点场强为2022RqEEx方向沿x轴正向。6-9一无限大均匀带电平面，电荷面密度为，在平面上开一个半径为R的圆洞，求在这个圆洞轴线上距洞心r处一点P的场强。解：开了一个圆洞的无限大均匀带电平面，相当于一个无限大均匀带电平面又加了一块带异号电荷，面密度相同的圆盘。距洞心r处P点的场强pEEE式中E为无限大均匀带电平面在P点产生的场强题6-9图02E方向垂直于平面向外E为半径为R的均匀带负电圆盘在其轴线上距中心为r处的P产生的场强。在圆盘上取半径为r，宽为rd的细圆环，在P点产生场强2322023220)(42)(4rrrdrrrrrdqdERRrrrrdrrrrdEE021220023220])(1[2)(42220(1)2rRr方向垂直圆盘向里故21220)(2rRrEEEP方向垂直平面向外6-10如图所示，一条长为l2的均匀带电直线，所带电量为q，求带电直线延长线上任一点P的场强。解：在坐标为r处取线元，带电量drlqdrdq2该线元在带电直线延长线上距原点为x的P点产生的场强为题6-10图题6-10图20)(4rxdqdE整个带电直线在P点的场强llllllrxlqrxrxdlqrxlqdrdEE)1(8)()(8)(24020202222000112()88()4()qqlqlxlxllxlxl6-11用场强叠加原理，求证无限大均匀带平面外任一点的场强大小为02E（提示：把无限大平面分成一个个圆环或一条条细长线，然后进行积分）。解：（1）建如图()axyz坐标，以板上任一点O为圆心，取半径为r，宽度为dr的环形面积元，带电量为：rdrdq2。由圆环电荷在其轴线上任一点)(xOPP的场强公式23220)(42rxxrdrdE方向沿x轴正方向。P点总场强3022202()xrdrEdErx1222000122()xrx题6-11()a图（0，E的方向沿x轴正方向）（2）建如图()b所示的三维坐标，在与z轴相距为y处取一细长线元，沿y轴方向单位长度带电荷为dy，由长直带电直线场强公式，线元在x轴距原点O为a的点P的场强22021aydydE题6-11()b图由于对称性，dE的y轴分量总和为零所以cosdEdEEx222200arctan22adyyayaya0022因为0，所以E的方向沿x轴正方向。6-12如图所示，半径为R的带电细圆环，线电荷密度cos0，0为常数，为半径R与x轴夹角，求圆环中心O处的电场强度。解：在带电圆环上任取一线元Rddl，带电量为Rddldqcos0，线元与原点O的连线与x轴夹角为，在O点的场强dE大小为题6-12图dRdRRRdqdEcos4cos440020020dE沿x轴和y轴的分量dRdEdEx200cos4cosdRdEdEysincos4sin00整个带电圆环在O点的场强E沿x轴和y轴的分量200020002004)2sin412(4cos4RRdRdEExx2020200000)2sin(4sinsin4RdRdEEyy故004xEREiiE的方向沿x轴负方向。6-13如图所示，两条平行的无限长均匀带电直线，相距为d，线电荷密度分别为和，求：（1）两线构成的平面的中垂面上的场强分布；（2）两直线单位长度的相互作用力。解：（1）在两线构成平面的中垂直面上任取一点P距两线构成平面为y，到两线距离为22()2dy。两带电直线在P点的场强为212201)4(2dyE212202)4(2dyE题6-13图由于对称性，两线在P点的场强沿y轴方向的分量，方向相反，大小相等，相互抵消1212coscosxxEEEEE112222220222()()44dddyyxyoE1E2Ed/2-d/2λλ+-θθ+-P题6-13图2202()4ddy方向沿x轴正方向（2）两直线相距为d，带正电直线在带负电直线处的场强为dE02。由qEF，带负电直线单位长度的电荷受电场力dEF022，方向指向带正电直线。同理，带正电直线单位长度受电场力dF022，方向指向带负电直线。故有FF，两带电直线相互吸引。6-14如图所示，长为l、线电荷密度为的两根相同的均匀带电细塑料棒，沿同一直线放置，两棒近端相距为l，求两棒间的静电相互作用力。题6-14图解：（1）建立如图所示x坐标，在左棒中坐标为x处取线元dx，带电量dxdq，线元dx在坐标r处的场强20)(4xrdxdE左棒在坐标r处点的场强题6-14图llxrxrdxrdxdEE002020)()(4)(4100000111()()()444lldrxrxrlr（2）在右棒中坐标为r处取线元dr，带电量drdq，该线元受电场力)11(402rlrdrEdqdF右棒受总电场力为llllllrdrlrlrddrrlrdFF3232320202)(4)11(4222332200034ln()lnln2lnln44243llllrlrF的方向沿x轴正方向。两棒间的