太原理工大学09级硕士研究生数值分析期末考试题

太原理工大学04级～12级硕士研究生数值分析期末考试题109级（10/07/13）一、填空题(2×10=20分)1、𝑥∗=−2.40315是真值𝑥=−2.40194的近似值，则𝑥∗有____位有效数字。2、设𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑥−1，则差商(均差)𝑓[0，1，2，3]=_____，𝑓[0，1，2，3，4]=_____。3、求方程𝑥=𝑓(𝑥)根的牛顿迭代格式是_________________。4、𝑙0(𝑥)，𝑙1(𝑥)，…，𝑙𝑛(𝑥)是以0,1，…，n为插值节点的largrange插值基函数，则∑𝑖𝑙𝑖𝑛𝑖=0(𝑥)=______________。5、牛顿—科特斯求积公式的系数和∑𝐶𝑘(𝑛)𝑛𝑘=0=______。6、设方程组Ax=b，其中𝐴=(2−111.5)，则Jacobi迭代法的迭代矩阵是________，Gauss—Seidel迭代法的迭代矩阵是__________。7、设{𝜑𝑘(𝑥)}0∞是区间[0，1]上权函数为𝜌(𝑥)=𝑥2的最高项系数为1的正交多项式族，其中𝜑0(𝑥)=1，则∫𝑥2𝜑3(𝑥)10d𝑥=__________，𝜑1(𝑥)=__________。二、判断题(2×10=20分)1、梯形求积公式和复化梯形求积公式都时插值型求积公式。()2、若x为n维向量，则‖x‖0。()3、幂法是求矩阵所有特征值及特征向量的一种向量迭代法。()4、用1+x近似表示e𝑥产生舍入误差。()5、n个求积节点的插值型求积公式的代数精度为n。()6、321.750有5位有效数字，其误差限≤12×10−5。()7、求解微风方程初值问题的二阶龙格—库塔公式的局部截断误差为𝑂(ℎ2)。()8、高斯型求积公式∫𝑓(𝑥)d𝑥≈𝑏𝑎∑𝐴𝑘𝑛𝑘=0𝑓(𝑥𝑘)的代数精度为2n+1。()9、对∀𝐴∈𝑅𝑛×𝑛，lim𝑚→∞𝐴𝑚=0的充要条件是A的某种范数‖𝐴‖1。()10、方程组Ax=b的系数矩阵A的条件数刻画了解对初始数据的灵敏程度，即A的条件数越大，方程组的病态程度越严重。()三、计算题(10×4=40分)太原理工大学04级～12级硕士研究生数值分析期末考试题21、用矩阵的直接三角分解法(A=LU)解方程组Ax=b:(1472583611)(𝑥1𝑥2𝑥3)=(111)。2、求函数𝑓(𝑥)=√1+𝑥2，在[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。3、用幂法求矩阵(430520301)的按模最大的特征值的近似值，取初值𝑥(0)=(1，1，1)𝑇，迭代两步即可，保留三位有效数字。4、请用两种收敛的迭代格式求出方程𝑥4−4𝑥2+4=0的根𝑥∗=√2的近似值，保留三位有效数字。四、证明题(10×2=20分)1、设𝑓(𝑥)∈𝐶[𝑎，𝑏],𝑀𝑛=max𝑎≤𝑥≤𝑏|𝑓(𝑛)(𝑥)|，若取𝑥𝑘=𝑎+𝑏2+𝑎−𝑏2cos2𝑘−12𝑛𝜋,𝑘=1，2，⋯，𝑛作节点，证明Lagrange初值余项有估计式|𝑅(𝑥)|≤𝑀𝑛(𝑏−𝑎)𝑛𝑛!22𝑛−12、用梯形法解初值问题{y′+y=0y(0)=1，证明其近似解为𝑦𝑛=(2−ℎ2+ℎ)𝑛，并证明当ℎ→0时，它收敛于原初值问题的正确解𝑦=𝑒−𝑥，其中𝑥𝑛=𝑛ℎ。