复变函数与积分变换第九章

第九章Z变换Fourier变换和Laplace变换是研究连续时间函数的重要工具,本章将要介绍的Z变换则是研究离散时间函数的重要工具.1Z变换的定义2Z变换的性质§9.1Z变换的概念与性质9.1.1Z变换的定义定义9.1设是无限序列.()0,1,2,fnn如果级数在z平面的某一区域内收敛,()nnfnz其中z为复参变量,则由这个级数所确定的函数()()nnFzfnz称为序列f(n)的Z变换,记为[()].Zfn显然Z变换的定义式是Laurent级数,所以如果存在收敛域,则为圆环域,且F(z)在圆环域内解析.序列通常称为双边序列.()(0,1,2,)fnn如果在时则称右(左)边序列.0(0)nn()0,fn果存在常数使得10,R1()(0),nfnMRn则右边序列f(n)的Z变换在0()()nnFzfnz1zR定理9.1(Z变换存在定理)设为常数.如0M内存在.如果存在常数使得20,R2()(0),nfnMRn则左边序列f(n)的Z变换在1()()nnFzfnz2zR内存在.如果且上面两个不等式都12,RR成立,则双边序列f(n)的Z变换()()nnFzfnz在内存在.12RzR例9.1设序列其中n是非负整数，(),fnn求F(z).根据Z变换的定义,当时,1z解运行下面的MATLAB语句.symsnzf=n;Z=ztrans(f)Z=z/(z-1)^2注利用符号运算工具箱中提供的ztrans()和iztrans()函数可得出给定函数的Z变换及其逆变换，默认变量是k.230123(),nnFznzzzz23234()1,zFzzzz23111(1)()1,1zzFzzzzz2()1.(1)zFzzz下面再给出几个序列Z变换的例子,注意它们之间的差异.例9.2设序列求F(z).2,0(),3,0nnnfnn根据Z变换的定义,当时,23z解运行下面的MATLAB语句.symsnzf=2^n;Z=ztrans(f)+symsum(-3^(-n)*z^n,n,1,inf)Z=1/2*z/(1/2*z-1)+1/3*z/(1/3*z-1)r=simple(Z)r=z*(2*z-5)/(z-2)/(z-3)10()()23nnnnnnnnFzfnzzz(25).23(2)(3)zzzzzzzz例9.3设序列2,0,2,4,(),3,1,3,5,nnnfnn求F(z).根据Z变换的定义,当时,3z解运行下面的MATLAB语句.symsnzZ=symsum(2^(2*n)*z^(-2*n),n,0,inf)+symsum(-3^(2*n+1)*z^(-(2*n+1)),n,0,inf)Z=z^2/(-4+z^2)-3*z/(-9+z^2)0()()nnFzfnz22221(21)2200323.49mmmmmmzzzzzz2(21)00(2)(21)mmmmfmzfmz例9.4设指数序列其中()(0),nfnan为复数，求F(z).0a根据Z变换的定义,当时,za解运行下面的MATLAB语句.symsnzaf=a^n;Z=ztrans(f)Z=z/a/(z/a-1)r=simple(Z)r=-z/(-z+a)0()()nnFzfnz0.nnnzazza9.1.2Z变换的性质以下假定所讨论的序列均满足Z变换存在定理的条件.(1)线性性质设a,b是常数，11()[()],FzZfn22()[()],FzZfn则1212[()()]()()ZfnfnFzFzabab12[()][()].ZfnZfnab例9.5求正弦序列和余弦序列10()sinfnn20()cosfnn的Z变换,其中0.n00101()[sin]2ininFzZnZeei00020sin1.22cos1iizzzizezezz同样可得00201()[cos]2ininFzZnZee020(cos).2cos1zzzz利用线性性质和,当时,例9.4设指数序列其中()(0),nfnan为复数，求F(z).0a解根据Z变换的定义,当时,za0()()nnFzfnz0.nnnzazza1z解运行下面的MATLAB语句.symsnzw_0f_1=sin(w_0*n);f_2=cos(w_0*n);Z_1=ztrans(f_1)Z_1=z*sin(w_0)/(z^2-2*z*cos(w_0)+1)Z_2=ztrans(f_2)Z_2=(z-cos(w_0))*z/(z^2-2*z*cos(w_0)+1)(2)位移性质双边序列的位移性质:设f(n)是双边序列,()[()],FzZfn则对整数m,有[()]().mZfnmzFz证明根据Z变换的定义,[()]().nnZfnmfnmz令于是,knm[()]()().mkmkZfnmzfkzzFz右边序列的位移性质:设f(n)是右边序列,()[()],FzZfn则对正整数m,有[()]()mZfnmzFz(右移),10[()]()()mmnnZfnmzFzfnz(左移).证明根据Z变换的定义,0[()]().nnZfnmfnmz令于是,knm[()]().mkkmZfnmzfkz因为f(n)是右边序列,所以()0(,1,,1),fkkmm0[()]()().mkmkZfnmzfkzzFz同样,对0[()](),nnZfnmfnmz令,knm[()]()mkkmZfnmzfkz100()()mmkkkkzfkzfkz10()().mmnnzFzfnz例9.6求变换和22[],(1)ZnZn2(1),Zn其中n为非负整数.利用线性性质和可得,(2)位移性质双边序列的位移性质:设f(n)是双边序列,()[()],FzZfn则对整数m,有[()]().mZfnmzFz右边序列的位移性质:设f(n)是右边序列,()[()],FzZfn则对正整数m,有[()]()mZfnmzFz(右移),10[()]()()mmnnZfnmzFzfnz(左移).11()(1)()()().zZfnfnFzzFzFzz再利用线性性质及,例9.1设序列其中n是非负整数，(),fnn求F(z).解根据Z变换的定义,当时,1z230123(),nnFznzzzz23234()1,zFzzzz23111(1)()1,1zzFzzzzz2()1.(1)zFzzz22211[21]1.(1)1(1)zzZnzzzz注因为n为非负整数,所以考虑的是右边序列,故因此在求时,从而(1)0.f[21]Zn1,n11[1]1.1nnZzzz如果与本问题无关,应该是0[1]1.1nnzZzzz2(),fnn设()[()].FzZfn解运行下面的MATLAB语句.symsnzf_1=n^2;f_2=(n+1)^2;Z_1=ztrans(f_1)Z_1=z*(z+1)/(z-1)^3Z_2=ztrans(f_2)Z_2=z*(z+1)/(z-1)^3+2*z/(z-1)^2+z/(z-1)r=simple(Z_2)r=z^2*(z+1)/(z-1)^3因为()(1)21,fnfnn所以当时,1z23(1)()[].(1)zzFzZnz从而利用可得,(2)位移性质双边序列的位移性质:设f(n)是双边序列,()[()],FzZfn则对整数m,有[()]().mZfnmzFz右边序列的位移性质:设f(n)是右边序列,()[()],FzZfn则对正整数m,有[()]()mZfnmzFz(右移),10[()]()()mmnnZfnmzFzfnz(左移).21231(1)[]1,(1)zZnzZnzz2223(1)(1)[]1.(1)zzZnzZnzz例9.7求变换和1(1)!Zn1,(2)!Zn其中n为非负整数.1011.!!nznZzenn所以由,当时,(2)位移性质双边序列的位移性质:设f(n)是双边序列,()[()],FzZfn则对整数m,有[()]().mZfnmzFz右边序列的位移性质:设f(n)是右边序列,()[()],FzZfn则对正整数m,有[()]()mZfnmzFz(右移),10[()]()()mmnnZfnmzFzfnz(左移).0z111,(1)!zZzen12111.(2)!zZzenz因为当时,0z解运行下面的MATLAB语句.symsnzf_1=sym('1/(n+1)!');f_2=sym('1/(n+2)!');Z_1=ztrans(f_1)Z_1=z*exp(1/z)*(1-exp(-1/z))Z_2=ztrans(f_2)Z_2=z^2*exp(1/z)*(1-exp(-1/z)*(1+1/z))r=simple(Z_2)r=z^2*exp(1/z)-z^2-z(3)微分性质设则()[()],FzZfn[()]().ZnfnzFz所以在收敛区域内,1()()nnFznfnz11()[()],nnznfnzzZnfn于是[()]().ZnfnzFz因为()[()](),nnFzZfnfnz证明运行下面的MATLAB语句.symsnzg=n*sym('f(n)');Z=ztrans(g)Z=-z*diff(ztrans(f(n),n,z),z)例9.8利用微分性质求变换(参见例9.6).2[]Zn解由,已知例9.1设序列其中n是非负整数，(),fnn求F(z).解根据Z变换的定义,当时,1z230123(),nnFznzzzz23234()1,zFzzzz23111(1)()1,1zzFzzzzz2()1.(1)zFzzz2[](1),(1)zZnzz所以22[](1)zZnzz33(1)2(1)1.(1)(1)zzzzzzzz(4)相似性质设则对任意()[()],FzZfn0,a[()].nzZafnFa证明根据Z变换的定义,[()]()nnnnZafnafnz().nnzzfnFaa(5)卷积性质设1122()[()],()[()],FzZfnFzZfn则1212[()]()().ZffnFzFz证明根据Z变换和卷积定义,1212()()nnZffnffnz12()()nnkfkfnkz