复变函数试题

1复变函数复习提要第1章：复数与复变函数复数是用有序数对),(yx定义的，其中yx,为实数。要注意，因为复数是“有序数对”，所以一般地讲，),(),(xyyx。正如所有实数构成的集合用R表示，所有复数构成的集合用C表示，即},:),({RbabazC复数的四则运算定义为),(),(),(dbcadcba),(),(),(dbcadcba),(),(),(adbcbdacdcba0,),(),(),(222222dcdcadbcdcbdacdcba复数的四则运算满足以下运算律①加法交换律1221zzzz②加法结合律321321)()(zzzzzz③乘法交换律1221zzzz④乘法结合律321321)()(zzzzzz⑤乘法对加法的分配律3121321)(zzzzzzz),(yx称为),(yxz的共轭复数，记为z。22yx称为),(yxz的模，记为z。共轭复数满足zzzzzzzzzImi2,Re2,22121zzzz2121zzzz0,)(22121zzzzz例1设i3,i5221zz，求21zz．分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐，可以利用共轭复数的运算结果。解为求21zz，在分子分母同乘2z，再利用1i2，得i101710110i171)i3)(i52(2222121zzzzzzz2例2求复数)i21)(i34()i21)(i34(A的模．解令i21,i3421zz，有2121zzzzA由共轭复数的运算结果得1212121212121zzzzzzzzzzzzA复数的三角式)sini(cosrz（其中zr）复数的三角式ierz由此得如下关系式)(i21i2i1212121eeerrrrzz0,eee2)(i21i2i1212121zrrrrzznnnrzie2121zzzz0,22121zzzzz)Arg()Arg()Arg(2121zzzz)Arg()Arg()Arg(2121zzzz对于复数ierz，它的n次方根为)1,,1,0(eπ2inkrznknn。例3求8)i1(．解4πie2i1，故有16e16e)2()e2()i1(2πi4π8i884πi8例4设iz1，求4z．3解因4πie2z，故4arg,2zz．于是，z的四个四次方根为16πi80e2w169πi81e2w16π17i82e2w16π25i83e2w0z点的邻域为复数集合}:{0zzz，记为),(0zN。0z点的去心邻域为复数集合}0:{0zzz，记为),(0*zN。无穷远点的邻域为复数集合}:{zz，记为),(N。对于区域D，若D中任意一条简单闭曲线的内部仍属于D，则称D为单连通区域。不是单连通区域的区域称为复连通区域。复变函数)(zfw的定义类似于数学分析中实函数)(xfy的定义，不同的是前者)(zfw是复平面到复平面的映射，所以无法给出它的图形。复变函数在一点的极限可用两个二元实函数在一点的极限来讨论，即AzfAzfzzzzzzRe)(Relim)(lim000ImImReRe且AzfzzzzIm)(Imlim00ImImReRe复变函数期末复习提要第2章：解析函数函数在一点可导的定义是设函数)(zfw定义在区域D内，DzzDz)(,00，若zzfzzfz)()(lim0存在，则称此极限为函数)(zf在点0z的导数，记为)(0zf，即zzfzzfzfz)()(lim)(0000（2.1）此时，称函数)(zf在点0z可导，否则，称函数)(zf在点0z不可导。函数在一点解析的定义是设函数)(zfw定义在区域D内，0z为D内某一点，若存在一个邻域),(0pzN，使得函数)(zf在该邻域内处处可导，则称函数)(zf在点0z解析。此时称点0z为函数)(zf的解析点。若函数)(zf在点0z不解析，则称0z为函数)(zf的奇点。函数在一点解析，则在该点可导，反之则未必。例1试证：函数)Re()(zzf在复平面上处处不可导。4分析：导数是一个特定类型的极限，要证明复变函数在某点的极限不存在，只需要找两条特殊的路径，使自变量沿这两条路径趋于该点时，函数值趋于不同的值。证对任意点z，因zzzzzzfzzf)Re()Re()()(令yxzi，于是有yxxzzfzzfi)()(由于上式当zz沿平行于虚轴的方向趋于点z时（即0,0yx），其极限为0；当zz沿平行于实轴的方向趋于点z时（即0,0xy），其极限为1，所以zzfzzfz)()(lim0不存在，故)(zf在点z处不可导。由点z的任意性，函数)Re()(zzf于复平面上处处不可导。若函数),(i),()(yxvyxuzf定义在区域D内，则函数)(zf在区域D内为解析函数的充分必要条件是：⑴),(yxu与),(yxv在D内可微。⑵xyyxvuvu,在D内成立。条件⑵称为柯西——黎曼条件或C.—R.条件。函数)(zf在区域D内为解析函数的充分必要条件是：⑴yxyxvvuu,,,在D内连续．⑵xyyxvuvu,在D内成立．例2试证函数1)(zzf在复平面解析．证令yxzvuzfi,i)(，则1i1)(yxzzfyxi1viu于是1xuyv从而有0,1yxuu1,0yxvv显然，yxyxvvuu,,,在复平面上处处连续，且满足C.—R.条件，故函数)(zf在复平面解析。函数)(zf在区域D内为解析函数的充分必要条件是)](Im[zf为)](Re[zf的共轭调和函数。例3设222),(yxyxyxu，试求以),(yxu为实部的解析函数5),(i),()(yxvyxuzf，使得i)0(f．解依C.—R.条件有yxuvxy22于是yyxvd)22()(22xyxy由此得)(2xyvxyuyx22从而有cxx2)(因此cxyxyyxv222),(（c为任意常数）故得)2(i2)(2222cxyxyyxyxzfczi)i1(2将i)0(f代入上式，得icfi)0(由此得1c，故得i)i1()(2zzf经验证，所得)(zf既为所求。复变函数期末复习提要第3章：初等函数⒈理解zzsin,e与zcos的定义及其主要性质；⒉知道支点概念。幂函数定义3.1设yxzi，n为正整数，称nzw为幂函数．根式函数定义3.3设)0(eirz，称满足zwn（n为不小于2的正整数）的w为z的n次根式函数，或简称根式函数，记作nzw⑴根式函数为多值函数，它不是解析函数．对于每一个确定的)0(eirz，都有n个不同的w与之对应，即有nnrwi0e6nnrwπ2i1e（3.1）nnnnrwπ)1(2i1e因为根式函数是多值函数，所以，它不是解析函数．⑵根式函数在从原点起沿正实轴剪开的复平面上可分出n个单值函数．定义3.4设函数)(zFw为多值函数，若当变点z从起始点0z出发绕一条包围点a的简单闭曲线连续变动一周再回到起始点0z时，函数)(zF从一个支变到另一个支，则称点a为函数)(zF的支点．⑶根式函数nzw的每个单值支在从原点起始沿正实轴剪开的复平面上为解析函数．指数函数定义3.5设yxzi，称)sini(coseeyyxz（3.2）为指数函数，其等式右端中的e为自然对数的底，即2.71828e．⑴对任意二复数111iyxz与222iyxz,有2121eeezzzz⑵ze在复平面上为解析函数，且有zze)(e⑶对任意一复数yxzi，有π2)(Arg,eekyzxz（k：整数）⑷ze只以iπ2k(k为整数)为周期．⑸21eezz的充分必要条件是iπ212kzz（k为整数）⑹zzelim不存在．⑺设yxzi，若0y，则xzee；若0x，则yyysinicosei这便是欧拉公式．⑻若yxzi，则zzee．例1试证zze1e．证：设yxzi，由定义得及（实）三角函数的性质得)]sin(i)[cos(eeyyxz7xyyesinicos)sini(cose)sini)(cossini(cosyyyyyyx)sini(cosesincos22yyyyxze1对数函数定义3.6设,0z，称满足zwe的w为z的对数函数，记作zwLn令vuwzrzi,,0,ei由定义3.6可得zwLn)π2(lnkirzizArgln（k：整数）即对于每一个,0z，有无穷个不同的w，即有)π4(iln2kzw)π2(iln1kzwiln0zw（3.3）)π2(iln1kzw)π4(iln2kzw与之对应，因此，对数函数为多值函数，从而，它不是解析函数．例2计算)i1(Ln．解：)i1(Argii1ln)i1(Ln)π24π(i2ln21k（k：整数）三角函数定义3.7设z为复数，称i2eeiizz与2eeiizz分别为z的正弦函数和余弦函数，分别记作8i2eesiniizzz与2eecosiizzz正、余弦函数的性质：⑴zsin与zcos在复平面解析，且有zzzzsin)(cos,cos)(sin⑵三角学中实变量的三角函数间的已知公式对复变量的三角函数仍然有效：例如，由定义可推得1cossin22zzzzcos)2sin(zzsin)2cos(212121sincoscossin)sin(zzzzzz212121sinsincoscos)cos(zzzzzzzsin)sin(zzcos)cos(⑶zzziesinicos⑷zsin仅在πkz处为零，zcos仅在π2πkz处为零，其中的k为整数．⑸zsin与zcos均以π2k（k为整数)为周期；⑹命题“若z为复数，则1cos,1sinzz”不真．⑺zzsinlim与zzcoslim均不存在．例3试证zzzi2iesini21e证：由定义zzzzzi2iiiei21ei2eesin可得zzzi2iesini21e例4计算)i1cos(的值．解由定义得2ee2ee)i1cos(1i1i)i1(i)i1(i91sin)ee(21i1cos)ee(2111复变函数期末复习提要第4章：解析函数的积分理论⒈理解积分基本定理、积分基本公式、高阶导数公式；⒉了解刘维尔定理、最大模原理，掌握证明它们的方法；⒊掌握利用积分基本定理和莫瑞拉定理判别解析函数的方法；⒋熟练掌握利用积分基本定理、积分基本公式和高阶导数公式计算函数沿闭曲线的积分。积分基本定理定理4.2设G为复平面上的单连通区域，c为G内的任意一条围线（图4-3），若)(zf在G内解析，则0d)(czzf定理4.4设有围线ncccc,,,,210，其中nccc,,,21中的每一条均在其余各条的外部，而它们又全都在0c的内部；又设G为由0c的内部与nccc,,,21的外部相交的部分组成的复连通区域（图4-4），若)(zf在G内解析，且在闭区域G上连续，则0d)(10nccczzf（4.6）积分基本公式定理4.5设G是以围线c为边界的单连通区域（图4-6），若)(zf在G内解析，