高三数学上学期期末考试试题

-1-泰州市高三第一次模拟考试数学试题(考试时间：120分钟总分：160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．（参考公式：2222121[()()()]nSxxxxxxn，121()nxxxxn）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1.已知1,3,4A，3,4,5B，则AB▲．2.函数()sin(3)6fxx的最小正周期为▲．3.复数z满足iz34i（i是虚数单位），则z▲．4.函数()24xfx的定义域为▲．5.执行如右图所示的流程图，则输出的n为▲．6.若数据2,,2,2x的方差为0，则x▲．7.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为▲．8.等比数列{}na中，16320aa，3451aaa，则数列的前6项和为▲．9.已知函数22sin,0()cos(),0xxxfxxxx是奇函数，则sin▲．10.双曲线12222byax的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e▲．11.若、是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为▲．（写出所有真命题的序号）①若直线m，则在平面内，一定不存在与直线m平行的直线．②若直线m，则在平面内，一定存在无数条直线与直线m垂直．③若直线m，则在平面内，不一定存在与直线m垂直的直线．④若直线m，则在平面内，一定存在与直线m垂直的直线．-2-12.已知实数,,abc满足222abc，0c，则2bac的取值范围为▲．13.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，若BC且222743abc，则ABC面积的最大值为▲．14.在梯形ABCD中，2ABDC，6BC，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足DPBPAP4=0，DACBDADP，Q为边AD上的一个动点，则PQ的最小值为▲．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，角的终边经过点(3,4)P．（１）求sin()4的值；（２）若P关于x轴的对称点为Q，求OPOQ的值．16.（本题满分14分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，,ACBD相交于点O，//EFAB，2ABEF，平面BCF平面ABCD，BFCF，点G为BC的中点．（1）求证：直线//OG平面EFCD；（2）求证：直线AC平面ODE．17.（本题满分14分）如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km的半圆和一个以PQ为斜边的等腰直角三角形PRQ构成，其中O为PQ的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD，按GOFCABDE-3-实际需要，四边形ABCD的两个顶点CD、分别在线段QRPR、上，另外两个顶点AB、在半圆上，////ABCDPQ，且ABCD、间的距离为1km．设四边形ABCD的周长为ckm．（1）若CD、分别为QRPR、的中点，求AB长；（2）求周长c的最大值．18.（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为22的椭圆:C22221(0)xyabab的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于,PQ两点，直线,PAQA分别与y轴交于,MN两点．若直线PQ斜率为22时，23PQ．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．19.（（本题满分16分）数列na，nb，nc满足：12nnnbaa，1222nnncaa，*nN．（1）若数列na是等差数列，求证：数列nb是等差数列；（2）若数列nb，nc都是等差数列，求证：数列na从第二项起为等差数列；DRCAPQOBNMQAOPxy-4-（3）若数列nb是等差数列，试判断当130ba时，数列na是否成等差数列？证明你的结论．20.（本题满分16分）已知函数1()lnfxxx，()gxaxb．(1)若函数()()()hxfxgx在(0,)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若直线()gxaxb是函数1()lnfxxx图象的切线，求ab的最小值；(3)当0b时，若()fx与()gx的图象有两个交点1122(,),(,)AxyBxy，求证：12xx22e．（取e为2.8，取ln2为0.7，取2为1.4）泰州市高三第一次模拟考试数学试题(附加题)(考试时间：30分钟总分：40分)21.（［选做题］请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．A．（本小题满分10分，几何证明选讲）如图，EA与圆O相切于点A，D是EA的中点，过点D引圆O的割线，与圆O相交于点,BC，连结EC．求证：DEBDCE．B．（本小题满分10分，矩阵与变换）-5-已知矩阵1002A，1201B，若矩阵1AB对应的变换把直线l变为直线:20lxy，求直线l的方程．C．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）己知在平面直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为2cos2sinxy（为参数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(sincos)1，直线l与圆M相交于,AB两点，求弦AB的长．D．（本小题满分10分，不等式选讲）已知正实数,,abc满足3abc，求证：2223bcaabc．［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（(本小题满分10分)如图，在长方体ABCDABCD中，2DADC，1DD，AC与BD相交于点O，点P在线段BD上（点P与点B不重合）．(1)若异面直线OP与BC所成角的余弦值为5555，求DP的长度;(2)若322DP，求平面PAC与平面DCB所成角的正弦值．23.（(本小题满分10分)记riC为从i个不同的元素中取出r个元素的所有组合的个数．随机变量表示满足212riCi的二元数组(,)ri中的r，其中-6-2,3,4,5,6,7,8,9,10i，每一个riC（r0,1,2,…,i）都等可能出现．求E．泰州市高三第一次模拟考试数学参考答案一、填空题1．3,4；2．23；3．43i；4．[2,)；5．4；6．2；7．13；8．214；9．1；10．53；11．②④；12．33[,]33；13．55；14．423二、解答题15.解：（１）∵角的终边经过点(3,4)P，∴43sin,cos55，……………4分∴42327sin()sincoscossin2444525210．……………7分（２）∵(3,4)P关于x轴的对称点为Q，∴(3,4)Q．………………………………9分∴(3,4),(3,4)OPOQ，∴334(4)7OPOQ．……………１４分16.证明（1）∵四边形ABCD是菱形，ACBDO，∴点O是BD的中点，∵点G为BC的中点∴//OGCD，………………3分又∵OG平面EFCD，CD平面EFCD，∴直线//OG平面EFCD．………７分（２）∵BFCF，点G为BC的中点,∴FGBC,∵平面BCF平面ABCD，平面BCF平面ABCDBC，FG平面BCF，FGBC∴FG平面ABCD，………………9分∵AC平面ABCD∴FGAC,-7-∵1//,2OGABOGAB，1//,2EFABEFAB，∴//,OGEFOGEF，∴四边形EFGO为平行四边形,∴//FGEO，………………11分∵FGAC，//FGEO，∴ACEO，∵四边形ABCD是菱形，∴ACDO，∵ACEO，ACDO，EODOO，EODO、在平面ODE内，∴AC平面ODE．………………1４分17.（１）解：连结RO并延长分别交ABCD、于MN、，连结OB，∵CD、分别为QRPR、的中点，2PQ，∴112CDPQ，PRQ为等腰直角三角形，PQ为斜边，112ROPQ，1122NORO．∵1MN，∴12MO．………………3分在RtBMO中，1BO，∴2232BMBOOM，∴23ABBM．……………6分（２）解法１设BOM，02．在RtBMO中，1BO，∴sinBM，cosOM．∵1MN，∴1cosCNRNONOM，∴21(sincos)BCAD，……………………………………………………8分∴22(sincos1(sincos))cABCDBCAD………………10分22222(sincos)(1(sincos))26，（当12或512时取等号）∴当12或512时，周长c的最大值为26km．…………………14分NMDRCAPQOB-8-解法２以O为原点，PQ为y轴建立平面直角坐标系．设(,)Bmn，,0mn，221mn，(1,)Cmm，∴2ABn，2CDm，21()BCADmn．……………………………8分∴22(1())cABCDBCADmnmn………………………10分22222()(1())26mnmn，（当624m，624n或624m，624n时取等号）∴当624m，624n或624m，624n时，周长c的最大值为26km．……………１４分18.解：（1）设002(,)2Pxx，∵直线PQ斜率为22时，23PQ，∴22002()32xx，∴202x…………３分∴22211ab，∵2222cabeaa，∴224,2ab．∴椭圆C的标准方程为22142xy．………………６分（２）以MN为直径的圆过定点(2,0)F．设00(,)Pxy，则00(,)Qxy，且2200142xy，即220024xy，∵(2,0)A，∴直线PA方程为：00(2)2yyxx，∴002(0,)2yMx，直线QA方程为：00(2)2yyxx，∴002(0,)2yNx，………………９分以MN为直径的圆为000022(0)(0)()()022yyxxyyxx-9-即222000220044044xyyxyyxx，………………12分∵220042xy，∴2200220xxyyy，令0y，2220xy，解得2x，∴以MN为直径的圆过定点(2,0)F．………………16分19．证明：（１）设数列na的公差为d，∵12nnnbaa，∴1121121(2)(2)()2()2nnnnnnnnnnbbaaaaaaaaddd，∴数列nb是公差为d的等差数列．………………４分（２）当2n时，1122nnncaa，∵12nnnbaa，∴112nnnbca，∴1112nnnbca，∴111112222nnnnnnnnnnbcbcbbccaa，∵数列nb，nc都是等差数列，∴1122nnnnbbcc为常数，∴数列na从第二项起为等差数列．………………１０分（３）数列na成等差数列．解法１设数列nb的公差为d，∵12nnnbaa，∴11222nnnnnnbaa，∴1111222nnnnnnbaa，…，2112222