作业7_592709196

作业71．在索末菲模型中，证明有N个电子的金属中，自由电子气体在绝对零度时的动能为FN53；由此导出压强P和体积弹性模量VPVB的表达式。求出锂（体心立方结构，晶格常数为3.5Å)的体积弹性模量值，并与杨氏模量的量级1011N/m2比较。提示：第一个问题上次作业4已做过，这次不做，直接用其结果。电子气的压强可用热力学公式NVUP0求得。2．自旋为21的He3原子是氦元素的同位素。He3是费密子。在绝对零度附近，液He3的密度为0.081g/cm3。如果使用索末菲模型来近似的分析，求液He3的费密能量F和费密温度TF。提示：原子质量单位amu=1.6605310-24g3．金属银的宏观密度为10.5g/cm3，银的原子量为107.87。如果用索末菲模型分析银中的价电子，（1）计算费密能量F和费密温度TF，费密波矢kF和费密速度vF；（2）如果银的电阻率在295K和20K时分别是1.61cm和0.038cm，计算在295K和20K时电子在费密面上的平均自由程。提示：根据索末菲模型，费米面上的电子才与声子碰撞，其平均自由程为Fvl。其中驰豫时间可用Drude模型来计算[见PPT中的公式sarcmenmBs1532110)()/(2.2]。4．二维情况下的化学势和电子密度。就每单位面积n个电子证明：（1）二维情况下费米气的化学势由下式给出：]1)ln[exp()(2TmknTkTBB。（2）电子密度的Sommerfeld展开只有零温项。提示：自由电子的能量mk222，因此轨道密度为22)/()/()(mdkmkdkkddng，是个常数，与能量无关。索末菲展开请参看韦丹著《固体物理》第2版P.121公式(5.24)，它利用了df/d的函数特性，对应于微观物理量x()的宏观量X可以用下面的方法计算：0100)(!1)()()()()(;)()()(nnnndydnyddfdyddfdxgddyxfgdXmBmmmmTkdyday2122)()(，其中am为索末菲展开系数，最重要的第一级Sommerfeldcoefficient为a1=2/6。对于本题中电子密度有：)()(gy。5．天体物理学中的费米气。（a）给定太阳的质量M☼=21033g，估计太阳中的电子的数目。在白矮星中这个数目的电子可以被电离出来，并且包含在半径为2109cm的球内，试求以电子伏表示的电子的费米能。（b）相对论极限mc2下的电子能量和波矢的关系为kcpc。证明在这个极限下的费米能大致为3/1)/(3VNcF。（c）如果上述数目的电子包含在半径为10km的脉冲星内，试证费密能约为108eV。这个值说明了为什么脉冲星被认为多半是由中子所组成，而不是由质子和电子所组成，因为在np+e-的反应中释放的能量仅为0.8106eV，这个能量不足以使许多电子能够形成费米海。中子衰变只进行到足以引致0.8106eV的费米能级的电子浓度为止，这时中子、质子和电子浓度处于平衡。提示：（a）设太阳包含Na个平均原子序数为Z的原子，则太阳质量为M☼=Na(Zme+M)，其中M为平均原子序数为Z的原子质量，可取M2Zmp，由于mpme，因此，M☼2NaZmp=2Nmp，N即为太阳中的电子的数目。（b）对于量子态数和费米波矢来说，仍旧和非相对论性电子气体的情形一样。