中考压轴题十大类型之定值问题

中考压轴题十大类型之定值问题1.如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．【答案】解：（1）∵抛物线22yx4x3x21，∴二次函数L1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标（2，﹣1）。（2）①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：对称轴为x=2；都经过A（1，0），B（3，0）两点。②线段EF的长度不会发生变化。∵直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，∴kx2﹣4kx+3k=8k，∵k≠0，∴x2﹣4x+3=8。解得：x1=﹣1，x2=5。∴EF=x2﹣x1=6。∴线段EF的长度不会发生变化。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质。【分析】（1）抛物线y=ax2+bx+c中：a的值决定了抛物线的开口方向，a＞0时，抛物线的开口向上；a＜0时，抛物线的开口向下。抛物线的对称轴方程和顶点坐标，可化为顶点式或用公式求解。（2）①新函数是由原函数的各项系数同时乘以k所得，因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析。②联立直线和抛物线L2的解析式，先求出点E、F的坐标，从而可表示出EF的长，若该长度为定值，则线段EF的长不会发生变化。2.如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0≤x≤2.5.⑴试求出y关于x的函数关系式，并求出y=3时相应x的值；⑵记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1－S2是常数；⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.【答案】解：（1）∵CG∥AP，∴∠CGD=∠PAG，则tanCGD=tanPAG。∴CDPG=GDAG。∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，∴GD=3－x，AG=4－x。∴1y=3x4x，即4xy=3x。∴y关于x的函数关系式为4xy=3x。当y=3时，4x3=3x，解得:x=2.5。（2）∵12114x11113S=GPGD=3xx+2S=GDCD=3x1x+223x22222，，∴121131SS=x+2x+2222为常数。（3）延长PD交AC于点Q.∵正方形ABCD中，AC为对角线，∴∠CAD=45°。∵PQ⊥AC，∴∠ADQ=45°。∴∠GDP=∠ADQ=45°。∴△DGP是等腰直角三角形，则GD=GP。∴4x3x=3x，化简得：2x5x+5=0，解得：55x=2。∵0≤x≤2.5，∴55x=2。在Rt△DGP中，0GD552+10PD==23x=23=22cos45。【考点】正方形的性质，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）根据题意表示出AG、GD的长度，再由tanCGD=tanPAG可解出x的值。（2）利用（1）得出的y与x的关系式表示出S1、S2，然后作差即可。（3）延长PD交AC于点Q，然后判断△DGP是等腰直角三角形，从而结合x的范围得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的长度。1.已知抛物线1C：21112yxx，点F(1，1)．（Ⅰ）求抛物线1C的顶点坐标；（Ⅱ）①若抛物线1C与y轴的交点为A，连接AF，并延长交抛物线1C于点B，求证：112AFBF；②抛物线1C上任意一点P（PPxy，）（01Px），连接PF，并延长交抛物线1C于点Q（QQxy，），试判断112PFQF是否成立？请说明理由；（Ⅲ）将抛物线1C作适当的平移，得抛物线2C：221()2yxh，若2xm时，2yx恒成立，求m的最大值．2.如图，已知△ABC为直角三角形，90ACB，ACBC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（0m），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D．（1）求点A的坐标（用m表示）；（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ并延长交AC于点F，试证明：()FCACEC为定值．3.孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线2(0)yaxa的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：（1）若测得22OAOB（如图1），求a的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BFx轴于点F，测得1OF，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐．．标．；（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．4.如图，抛物线24yaxbxa经过10A，、04C，两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点,1Dmm在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且45DBP，求点P的坐标．[来源:学．科．网Z．X．X．K]5.在直角坐标系xOy中，抛物线2yxbxc与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，其中A在B的左侧，B的坐标是（3，0）．将直线ykx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过点B、C．（1）求k的值；（2）求直线BC和抛物线的解析式；（3）求△ABC的面积；（4）设抛物线顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标．B-4-2-14321-4-3-2-143210yx-3yxOABC