习题十二二重积分的概念与性质(2012)河海大学高数习题答案

习题十二二重积分的概念与性质一、比较下列各对积分值的大小，并说明理由。（1）解：区域D为：1,0,0|),(yxyxyxD，故当Dyx),(时，有2)()(yxyx，从而有Ddyx)(Ddyx2)(。（2）解：区域D位于1yx上方，故当Dyx),(时，1yx，从而2)()(yxyx，故Ddyx)(Ddyx2)(（3）解：当Dyx),(时，21yx，从而1)ln(0yx，故2)][ln()ln(yxyx，所以Ddyx)ln(Ddyx2)][ln(。（4）解：区域D位于直线eyx的上方，故当Dyx),(时，eyx，从而1)ln(yx，所以2)][ln()ln(yxyx，有Ddyx)ln(Ddyx2)][ln(。二、利用二重积分的性质估计下列积分值：（1）0，2；（2）36，100；（3）51100，2。三、解：Ddyx613111121)1(，211121，31),(f。四、证明：显然DD，因为),(yxf在D上连续，所以),(yxf在D上也连续。由积分中值定理知，至少存在一点D),(使得Dffdyxf),(),(),(且当,时，有)0,0(),(，Dffdyxf)0,0(),(lim),(1lim0000。