三台中学2013级第二次诊断考试理科数学模拟试题(三)

第1页（共8页）三台中学2013级第二次诊断考试理科数学模拟试题（三）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z=+（1+i）2，则复数z的共轭复数的模为（）A．B．1C．2D．2．若全集U=R，集合A={x|﹣7＜2x+3＜7}，B={x|y=log2（x2﹣4）}，则CU（A∩B）=（）A．{x|x＜﹣5或x＞﹣2}B．{x|x≤﹣5或x≥﹣2}C．{x|x≤﹣3或x≥﹣1}D．{x|x＜﹣3或x＞﹣1}3．命题“∀x∈R，sin2x＞1”的否定是（）A．∀x∈R，sin2x≤1B．∀x∉R，sin2x＞1C．∃x0∈R，sin2x≤1D．∃x0∉R，sin2x＞14．从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为的概率是（）A．0.1B．C．0.3D．0.65．已知平面向量=（1，﹣2），=（4，m），且⊥，则向量在﹣方向上的投影为（）A．B．﹣2C．4D．﹣46．设F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A是其右支上一点，连接AF1交双曲线的左支于点B，若|AB|=|AF2|，且∠BAF2=60°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2﹣1D．7．阅读下面的程序框图．若使输出的结果不大于37，则输入的整数i的最大值为()A．5B．3C．2D．48．已知命题p：“将函数y=sin（2x+θ）的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个关于y轴对称的图象”，命题q：“θ=kπ+（k∈Z）”，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第2页（共8页）9．某市人事部门引进4名优秀急缺专业类别的博士生甲、乙、丙、丁，经研究决定拟将他们分配到A、B、C三个单位，每个单位至少去一名，且甲不能A单位，则不同的分配方案有（）A．24种B．12种C．48种D．36种10．我们把离心率相等的椭圆称之为“同基椭圆”，已知椭圆C1：+y2=1（m1＞1）和椭圆C2：y2+=1（0＜m2＜1）为“同基椭圆”，直线l：y=与曲线C1从左至右交于A、D两点，与曲线C2从左至右交于B、C两点，O为坐标原点，且|AC|=，则椭圆C1、C2的交点个数为（）A．4B．2C．0D．无数个第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．11．已知在（﹣）n的展开式中，第6项为常数项，则含x2的项的二项式系数为．12．2014年巴西足球世界杯最终以德国队高举“大力神杯”而落幕，专家认为：“中国的孩子既没时间也没场地踢球，现在急需足球这样的全民健身运动，当从民族的高度、战略的高度发展足球”，以下是某新闻媒体进行的网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“中立”和“不支持”态度的人数如下表所示：支持中立不支持20岁以下80045020020岁以上（含20岁）100150300在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从“支持”态度的人中抽取了45人，则n=．13．已知（x，y）满足不等式，z=ax+y当且仅当在点（2，2）取得最大值，则a的取值范围是．14．已知Sn为正项的数列{an}的前n项和，且an+12﹣an+1+2﹣an2=0，S29=a292，则以a1为首项，2为公比的等比数列{bn}的第2015项为．15．若以曲线y=f（x）上任意一点M（x1，y1）为切点作切线l1，曲线上总存在异于M的点N（x2，y2），以点N为切点作切线l2，且l1∥l2，则称曲线y=f（x）具有“可平行性”，现有下列命题：①偶函数的图象都具有“可平行性”；②函数y=sinx的图象具有“可平行性”；③三次函数f（x）=x3﹣x2+ax+b具有“可平行性”，且对应的两切点M（x1，y1），N（x2，y2）的横坐标满足x1+x2=；④要使得分段函数f（x）=的图象具有“可平行性”，当且仅当实数m=1．其中的真命题是（写出所有命题的序号）．第3页（共8页）三、解答题：本大题共6个小题，16-19题每小题12分，20题13分，21题14分，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+，，当x=α时，f（x）有最大值．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=2，A=α﹣，且sinBsinC=sin2A，求△ABC的面积．17．（12分）时下休闲广场活动流行一种“套圈”的游戏，花1元钱可以买到2个竹制的圆形套圈，玩家站在指定的位置向放置在地面上的奖品抛掷，一次投掷一次，只要奖品被套圈套住，则该奖品即归玩家所有，已知玩家对一款玩具熊志在必得，玩具被套走以后商家马上更换同样的玩具供玩家游戏，假设玩家发挥稳定且每次投掷套中奖品的概率为0.2．（1）求投掷3次才获取玩具熊的概率；（2）已知玩家共消费2元，求玩家获取玩具熊的个数X的分布列、数学期望．18．（12分）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=7，a2为整数，当且仅当n=4时，Sn取得最大值．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=（9﹣an）•2n﹣1，求数列{bn}的前n项和为Tn．第4页（共8页）19．（12分）圆C的半径为3，圆心在直线20xy+=上且在x轴下方，x轴被圆C截得的弦长为25．（1）求圆C的方程；（2）是否存在斜率为1的直线l，使得以l被圆截得的弦为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．20．（13分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0），其焦距为4，双曲线C2：﹣=1，C1，C2的离心率互为倒数．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右顶点作直线交抛物线=x于A，B两点，过原点O与A，B两点的直线分别与椭圆相交于点D，E，证明：为定值．21．（14分）关于x的函数f（x）=m（x2﹣4x+lnx）﹣（2m2+1）x+2lnx，其中m∈R，函数f（x）在（1，0）处切线斜率为0．（1）已知函数f（x）的图象与直线y=k2﹣2k无公共点，求实数k的取值范围；（2）已知p≤0，若对任意的x∈[1，2]，总有f（x）≥++2x﹣x2成立，求p的取值范围．第5页（共8页）三台中学2013级第二次诊断考试理科数学模拟试题（三）参考答案与解析1-5ABCBD6-10DACAB部分题目解析：4．解析：从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点共有=10种，其中两点间的距离为的必选中心，共有4种可能，故该两点间的距离为的概率是=，故选：B．5．解析：因为⊥，所以•=4﹣2m=0，解得m=2，则﹣=（﹣3，﹣4），则向量在﹣方向上的投影为||cosθ==﹣4；故选D．6.解析：若|AB|=|AF2|，且∠BAF2=60°，则△BAF2为等边三角形，设AF2=t，则AB=BF2=t，由双曲线的定义可得，AF1﹣AF2=2a，BF2﹣BF1=2a，AF1=AB+BF1，即有t+2a=2t﹣2a，解得，t=4a，AF1=6a，AF2=4a，F1F2=2c，由余弦定理可得，F1F22=AF12+AF22﹣2AF1•AF2cos60°，即有4c2=36a2+16a2﹣2×6a×4a×，即为4c2=28a2，则有e==．故选D．7．解析：经过第一次循环得到s=2，n=1，经过第二次循环得到s=5，n=2，经过第三次循环得到s=10，n=3，经过第四次循环得到s=19，n=4，经过第五次循环得到s=36，n=5，经过第六次循环得到s=69，n=6，∵输出的结果不大于37，∴n的最大值为4，∴i的最大值为5，故答案为：A.8．解析：①将函数y=sin（2x+θ）的图象沿x轴向右平移个单位后，得到解析式是；y=sin[2（x﹣）+θ]=sin（2x﹣+θ），因为是关于y轴对称的图象，所以y=sin（2x﹣+θ），是偶函数，所以﹣+θ=k，k∈z,即θ=π+，∈z，②∵若θ=kπ+（k∈Z），∴函数y=sin（2x+θ）的图象沿x轴向右平移个单位后得出y=sin（2x）=sin（2x）=cos（2x+kπ），其图象关于y轴对称，∴p是q的充要条件，故选：C．9．解析：根据甲是否单独去一个单位分两类，甲单独去一个单位，则有=12种，甲不单独去一个单位，则有=12种，共有24种．故选：A．10．解析：由于C1，C2的离心率相等，则=，即有m1m2=1，将y=分别代入C1，C2方程，由+=1⇒xA=﹣m1，由+=1⇒xC=m2，则A（﹣m1，），C（m2，），又|AC|=，则m1+m2=，又m1m2=1，解得m1=2，m2=，第6页（共8页）则有C1，C2的方程分别为+y2=1，4x2+y2=1，解得交点为（0，1），（0，﹣1）．故它们的交点个数为2．故选B．11．4512．解析：由题意=，解得n=100．故答案为：100．13.解析：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（2，2），化目标函数z=ax+y为y=﹣ax+z，由图可知，要使z=ax+y当且仅当在点（2，2）取得最大值，则﹣a，即a．∴a的取值范围是（）．故答案为：（）．14．解析：由已知an＞0，又∵an+12﹣an+1+2﹣an2=0，∴，，…，将以上28个式子相加，化简得﹣（S29﹣a1）+2×28=，又S29=a292，代入上式化简得（a1﹣8）（a1+7）=0，又∵an＞0，∴a1=8，∴b2015=a1•q2015﹣1=8•22014=22017，故答案为：22017．15．解析：①函数y=1满足是偶函数，函数的导数y′=0恒成立，此时，任意两点的切线都是重合的，故①不符合题意．②由y′=cosx和三角函数的周期性知，cosx=a（﹣1≤a≤1）的解有无穷多个，符合题意．③三次函数f（x）=x3﹣x2+ax+b，则f′（x）=3x2﹣2x+a，方程3x2﹣2x+a﹣m=0在判别式△=（﹣2）2﹣12（a﹣m）≤0时不满足方程y′=a（a是导数值）至少有两个根,命题③错误；④函数y=ex﹣1（x＜0），y′=ex∈（0，1），函数y=x+，y′=1﹣，则由1﹣∈（0，1），得∈（0，1），∴x＞1，则m=1．故要使得分段函数f（x）的图象具有“可平行性”，当且仅当实数m=1，④正确．∴正确的命题是②④．故答案为：②④．第7页（共8页）16．解：（1）函数f（x）=（sinx+cosx）2+=1+sin2x﹣cos2x=1+2sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，故函数f（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．……………………………6分（2）∵，可得2x﹣∈[，]，再根据当x=α时，f（x）有最大值，可得2α﹣=，故α=．在△ABC中，由于a=2，A=α﹣=，且sinBsinC=sin2A=，∴由正弦定理可得bc=a2=4，∴△ABC的面积为bcsinA=×4×=．…………12分17．解：（1）投掷第3次才获取玩具熊，是指第一次和第二次均没有投掷套中奖品，且第三次投掷套中奖品．∴投掷第3次才获取玩具熊的概率P=（1﹣0.2）（1﹣0.2）•0.2=0.128．…………………4分（2）由已知得X=0，1，2，3，4，且X～B（4，0.2），P（X=0）=，P（X=1）==0.4096，P（X=2）=═0.1536，P（X=3）=C=0.0256，P（X=4）==0.0004，……………………………………………………………10分∴X的分布列为：X01234P0.40960.40960.15360.02560.0004E（X）=4×0.2=0.8．………………………………………………………………………12分18．解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵当且仅当n=4时，Sn取得最大值．∴a4＞0，a5＜0．∴，解得，∵a2为整数，∴d为整数，∴d=﹣2．∴an=7+（n﹣1）×（﹣2）=9﹣2n．…………