【世纪金榜】2015高考数学专题辅导与训练配套练习课时冲关练(二)12向量不等式线性规划

-1-课时冲关练(二)向量、不等式、线性规划A组(30分钟76分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.(2014·杭州模拟)已知A,B,C三点在同一条直线l上,O为直线外一点,若p+q+r=0,p,q,r∈R,则p+q+r=()A.-1B.0C.1D.3【解析】选B.因为A,B,C三点在同一条直线上,所以存在实数λ使=λ,所以-=λ(-),即(λ-1)+-λ=0,因为p+q+r=0,所以p=λ-1,q=1,r=-λ,所以p+q+r=0.2.设向量a=(4,x),b=(2,-1),且a⊥b,则x的值是()A.8B.-8C.2D.-2【解析】选A.因为a⊥b,所以a·b=4×2-x=0,解得x=8.3.设a,b为实数,则“0ab1”是“b”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选D.0ab1可分为两种情况:当a0,b0时,b;当a0,b0时,b,故不充分;反之,当b0,可有ab0,故不必要,所以应为既不充分也不必要条件.-2-4.(2014·湖州模拟)若a,b∈R,且ab0,则下列不等式恒成立的是()A.a2+b22abB.a+b≥2C.+D.+≥2【解析】选D.对于A:当a=b=1时满足ab0,但a2+b2=2ab,所以A错;对于B,C:当a=b=-1时满足ab0,但a+b0,+0,而20,0,显然B,C不对;对于D:当ab0时,由基本不等式可得+≥2=2.5.已知不等式ax2+bx+c0的解集为{x|2x4},则不等式cx2+bx+a0的解集为()A.B.C.D.【解析】选D.由已知a0,把2和4看作方程ax2+bx+c=0的两个根,则所以b=-6a,c=8a,即cx2+bx+a08ax2-6ax+a0.因为a0,所以8x2-6x+10,解得:x或x.6.(2014·温州模拟)已知实数x,y满足不等式组则-3-2x-y的取值范围是()A.[-1,3]B.[-3,-1]C.[-1,6]D.[-6,1]【解析】选C.由线性约束条件作出可行域如图.设z=2x-y,则y=2x-z.利用平移法可知,在点(3,0)处z取最大值6,在点(0,1)处取得最小值-1.故选C.7.已知向量a,b,其中|a|=,|b|=2,且(a-b)⊥a,则向量a和b的夹角是()A.B.C.D.π【解析】选A.由题意知(a-b)·a=a2-a·b=2-a·b=0,所以a·b=2.设a与b的夹角为θ,则cosθ=||||abab=,θ=.8.已知向量a=(2,1),a·b=10,||ab=5,则||b=()A.B.C.5D.25【解析】选C.因为a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,所以(a+b)2=50=a2+2a·b+b2,解得可知|b|=5.9.下列不等式一定成立的是()-4-A.lg（x2+）lgx(x0)B.sinx+≥2(x≠kπ,k∈Z)C.x2+1≥2|x|(x∈R)D.1(x∈R)【解题提示】应用基本不等式:x,y为正实数,≥(当且仅当x=y时取等号)逐个分析,注意基本不等式的应用条件及取等号的条件.【解析】选C.当x0时,x2+≥2·x·=x,所以lg（x2+）≥lgx(x0),故选项A不正确;运用基本不等式时需保证一正、二定、三相等,而当x≠kπ,k∈Z时,sinx的正、负不定,故选项B不正确;由基本不等式可知,选项C正确;当x=0时,有=1,故选项D不正确.10.(2014·合肥模拟)若不等式组表示的平面区域的面积为3,则实数a的值是()A.1B.2C.D.3【解析】选B.作出可行域,如图中阴影部分所示,区域面积S=×（+2）×2=3,解得a=2.11.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab),其全程的平均时速为v,则-5-()A.avB.v=C.vD.v=【解析】选A.由小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b,则全程的平均时速为v==,又因为ab,所以=,所以av,A成立.12.已知A,B是单位圆上的动点,且|AB|=,单位圆的圆心为O,则·=()A.-B.C.-D.【解析】选C.由题意知,单位圆的弦AB所对的圆心角∠AOB=120°,故·=·(-)=·-=1×1×cos120°-1=-.故选C.二、填空题(每小题4分,共16分)13.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ为实数,(a+λb)∥c,则λ的值为.【解析】a+λb=(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2),因为(a+λb)∥c,所以4(1+λ)-3×2=0,解得λ=.答案:-6-14.(2014·宁波模拟)在△ABC中,∠C=90°,点M满足=3,则sin∠BAM的最大值是.【解析】以CB,CA为x轴、y轴建立坐标系,如图,设B(4a,0),A(0,b),因为=3,所以M(a,0),所以·=(a,-b)·(4a,-b)=4a2+b2,又因为||=,||=,所以cos∠BAM==≥=,所以cos∠BAM的最小值是,因为sin2∠BAM+cos2∠BAM=1,sin∠BAM0,所以sin∠BAM的最大值为.答案:15.(2014·台州模拟)设k∈R,若1≤x≤2时恒有x3-3x2+2≤(1-k)x+1≤0,则k的取值集合是.-7-【解析】因为1≤x≤2时,恒有(1-k)x+1≤0,所以所以k≥2,x3-3x2+2≤(1-k)x+1,则1-k≥x2-3x+,设f(x)=x2-3x+,f'(x)=2x-3-,设f'(x)=0在1≤x≤2时的解为a,所以函数f(x)在(1,a)上单调递减,在(a,2)上单调递增,因为f(1)=-1,f(2)=-,所以f(x)max=f(1)=-1.所以1-k≥-1,所以k≤2.所以k的取值集合是{2}.答案:{2}16.(2014·潍坊模拟)已知a0,b0,且a+2b=1,则+的最小值为.【解析】+=+=3++≥3+2=3+2.即+的最小值为3+2.答案:3+2B组(30分钟76分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.(2014·浏阳模拟)设a,b∈R,若a-|b|0,则下列不等式中正确的是-8-()A.b-a0B.a3+b30C.b+a0D.a2-b20【解题提示】可以根据a-|b|0去掉绝对值号得到a与b的大小关系,从而作出判断,亦可以在a,b∈R的前提下取满足a-|b|0的特殊实数a,b验证.【解析】选C.方法一:由a-|b|0,得a|b|,所以-aba,所以a+b0且a-b0,所以b-a0,A错.a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)0,所以B错.而a2-b2=(a-b)(a+b)0,所以D错.方法二(特殊值法):因为a,b∈R且a-|b|0,所以取a=2,b=-1.则b-a=-1-2=-30,所以A错.a3+b3=8-1=70,所以B错.a2-b2=22-(-1)2=30,所以D错.2.已知向量a,b,满足|a|=3,|b|=2,且a⊥(a+b),则a与b的夹角为()A.B.C.D.【解析】选D.a⊥(a+b)a·(a+b)=a2+a·b=|a|2+|a||b|cosa,b=0,-9-故cosa,b=-=-,故所求夹角为.3.直线ax+by+c=0的某一侧的点P(m,n),满足am+bn+c0,则当a0,b0时,该点位于该直线的()A.右上方B.右下方C.左下方D.左上方【解析】选D.因为am+bn+c0,b0,所以n-m-.所以点P所在的平面区域满足不等式y-x-,a0,b0.所以-0.故点P在该直线的上侧,综上知,点P在该直线的左上方.4.(2014·绍兴模拟)已知约束条件对应的平面区域D如图所示,其中l1,l2,l3对应的直线方程分别为:y=k1x+b1,y=k2x+b2,y=k3x+b3,若目标函数z=-kx+y仅在点A(m,n)处取到最大值,则有()A.k1kk2B.k1kk3C.k1≤k≤k3D.kk1或kk3【解析】选B.因为z=-kx+y仅在点A(m,n)处取得最大值,则由y=kx+z,可知k1kk3.5.(2014·黄冈模拟)在△ABC中,(-3)⊥,则角A的最大值为()A.B.C.D.-10-【解析】选A.由(-3)⊥,可得(-3)·=0.化简可得||cosB=3||cos(π-C).cosA==+≥,0Aπ.所以0A≤.6.已知正项等比数列{an}满足:a3=a2+2a1,若存在两项am,an使得=4a1,则+的最小值为()A.B.C.D.不存在【解析】选A.设等比数列{an}的公比为q(q0),因为a3=a2+2a1,所以a1q2=a1q+2a1,解之得q=2.又=4a1,所以qm+n-2=16,所以2m+n-2=16.因此m+n=6.则（+）(m+n)=5++≥9.当且仅当n=2m(即n=4,m=2)时取等号.所以（+）(m+n)的最小值为9,从而+的最小值为.7.(2014·天津高考)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若·=1,·=-,则λ+μ=()-11-A.B.C.D.【解析】选C.因为∠BAD=120°,所以·=··cos120°=-2.因为BE=λBC,所以=+λ,=μ+.因为·=1,所以·=1,即2λ+2μ-λμ=①同理可得λμ-λ-μ=-②,①+②得λ+μ=.8.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=()A.B.C.2D.10【解析】选B.因为a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),由a⊥c,得a·c=2x-4=0,所以x=2.由b∥c,得1×(-4)-2y=0,所以y=-2.因此a+b=(2,1)+(1,-2)=(3,-1),则|a+b|=.9.设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a0,b0)的最大值为12,则+的最小值为()-12-A.B.C.D.4【解题提示】先由已知结合线性规划知识可以求得a,b的关系式,再由基本不等式求解.【解析】选A.不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.当直线ax+by=z(a0,b0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时,目标函数z=ax+by(a0,b0)取得最大值12,即4a+6b=12,即2a+3b=6.所以+=+·=++≥+2=.【方法技巧】线性规划问题的求解关注线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要关注的是:(1)准确无误地作出可行域.(2)画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错.(3)一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.10.(2014·温州模拟)在△ABC中,若·||2,则有()A.||||B.||||-13-C.||||D.||||【解析】选D.因为·||2,所以||·||·cosA||2,所以||·cosA||.因为||cosA是在上的投影,如图.所以||cosA=||||,所以必须C为钝角时才能满足||cosA||.根据大角对大边得||最长.故选D.11.(2014·台州模拟)在△ABC中,=(cos18°,cos72°),=(2cos63°,2cos27°),则△ABC的面积为()A.B.C.D.【解析】选B.·=2cos18°cos63°+2cos72°cos27°=2sin27°cos18°+2cos27°sin18°=2sin(27°+18°)=2sin45°=.而||=1,||=2,所以cosB==,所以sinB=,所以S△ABC=||||sinB=.-14-12.定义max{a,b}=设实数x,y满足约束条件且z=max{4x+y,3x-y},则z的取值范围为()A.[-6,0]B.[-7,10]C.[-6,8]D.[-7,