【优化方案】2016高中数学第一章三角函数1周期现象2角的概念的推广新人教A版必修4

1§1周期现象§2角的概念的推广1．问题导航(1)连续抛一枚硬币，面值朝上我们记为0，面值朝下我们记为1，数字0和1是否会周期性地重复出现？(2)一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大，这样说对吗？(3)在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转第一次到x轴的正半轴所形成的角为90°，这种说法是否正确？2．例题导读P4例1，例2，例3.通过此三例学习，学会利用周期现象的定义判断一种现象是否为周期现象．试一试：教材P5习题1－1T1，T2，T3你会吗？P7例1.通过本例学习，学会判断一个角是第几象限角．试一试：教材P8习题1－2T1，T2你会吗？P7例2.通过本例学习，学会写出终边落在坐标轴上的角的集合．P8例3.通过本例学习，学会写出终边与已知角终边相同的角的集合，并能写出该集合中指定范围的元素．试一试：教材P8习题1－2T3，T4你会吗？1．周期现象我们把以相同间隔重复出现的现象叫做周期现象．2．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．(2)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图形正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线从起始位置没有作任何旋转形成的角3.(1)象限角在平面直角坐标系中研究角时，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．若角的终边落在坐标轴上，则称这个角为轴线角或象限界角．(2)象限角的集合表示象限角角的集合表示第一象限角{α|k·360°αk·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°αk·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°αk·360°＋270°，k∈Z}2第四象限角{α|k·360°＋270°αk·360°＋360°，k∈Z}(3)轴线角的集合表示轴线角角的集合表示终边落在x轴的非负半轴上的角{α|α＝k·360°，k∈Z}终边落在x轴的非正半轴上的角{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}终边落在x轴上的角{α|α＝k·180°，k∈Z}终边落在y轴的非负半轴上的角{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}终边落在y轴的非正半轴上的角{α|α＝k·360°－90°，k∈Z}终边落在y轴上的角{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}终边落在坐标轴上的角{α|α＝k·90°，k∈Z}(4)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)钟表的秒针的运动是周期现象．()(2)某交通路口每次绿灯通过的车辆数是周期现象．()(3)钝角是第二象限的角．()(4)第二象限的角一定比第一象限的角大．()(5)终边相同的角不一定相等．()解析：(1)正确．秒针每分钟转一圈，它的运动是周期现象．(2)错误．虽然每次绿灯经过相同的时间间隔重复变化，但每次绿灯经过的车辆数不一定相同，故不是周期现象．(3)正确．大于90°而小于180°的角称为钝角，它是第二象限角．(4)错误.100°是第二象限角，361°是第一象限角，但100°361°.(5)正确．终边相同的角可以相差360°的整数倍．答案：(1)√(2)×(3)√(4)×(5)√2．小明今年17岁了，与小明属相相同的老师的年龄可能是()A．26B．32C．36D．41解析：选D.由十二生肖知，属相是12年循环一次，故选D.3．已知下列各角：①－120°；②－240°；③180°；④495°，其中是第二象限角的是()A．①②B．①③C．②③D．②④解析：选D.－120°是第三象限角；－240°是第二象限角；180°角不在任何一个象限内；495°＝360°＋135°，所以495°是第二象限角．4．在0°到360°之间与－120°终边相同的角是________．解析：与－120°终边相同的角α＝－120°＋k·360°(k∈Z)．由0°≤－120°＋k·360°360°，k∈Z，得13≤k43.又k∈Z，所以k＝1，此时α＝－120°＋360°＝240°.答案：240°1．对周期现象的理解现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的现象，这种变化规律称为周3期性，例如：月亮圆缺变化的周期性，即朔—上弦—望—下弦—朔；潮汐变化的周期性，即海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象；物体做匀速圆周运动时位置变化的周期性；做简谐运动的物体的位移变化的周期性等．2．对角的概念的两点说明(1)角是用运动的观点来定义的，由始边旋转一个角度到达终边，其中始边和终边要区分，不能混淆．(2)在描述角度(角的大小)时一定要抓住三点：①要明确旋转方向；②要明确旋转的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．3．角的分类(1)按旋转方向划分时，先确定角的旋转方向，再确定旋转的绝对量．如射线OA绕端点O逆时针旋转290°到OB的位置，则∠AOB＝290°.(2)今后在学习角时，我们通常把角放在平面直角坐标系中讨论．当角的终边落在坐标轴上时，这个角可以称为象限界角或轴线角．4．任意角概念的四个关注点周期现象的判断判断下列现象是否是周期现象．(1)地球自转；(2)某地每年一月份的降雨量；(3)世界杯足球赛的举办时间．(链接教材P4例1，例2，例3)[解](1)是周期现象．因为地球每24小时自转一周，所以地球自转是周期现象．(2)不是周期现象．某地每年一月份的降雨量是随机的，不是周期性重复出现的．(3)是周期现象．世界杯足球赛每隔四年举办一届，是周期性重复出现的．方法归纳判断某现象是否为周期现象的依据是周期现象的特征，即每次都以相同的间隔(比如时间间隔或长度间隔)出现，且现象是无差别的重复出现．1．(1)试判断下列现象中是否是周期现象．①一年二十四节气的变化；②候鸟迁徙；4③“随机数表”中数的排列．(2)我们的心跳都是有节奏的、有规律的，心脏跳动时，血压在增大或减小．下表是某人在一分钟内的血压与时间的对应关系，通过表中数据来研究血压变化的规律.t/s51015202530p/mmHg93.35136.6511593.35136.65115t/s354045505560p/mmHg93.35136.6511593.35136.65115①根据上表数据在坐标系中作出血压p与时间t的关系的散点图；②说明血压变化的规律．解：(1)①一年二十四节气是重复出现的，是周期现象．②候鸟迁徙是周期现象．③随机数表中的数0，1，2，…，9是随机出现的，不是周期现象．(2)①散点图如图．②从散点图可以看出，每经过相同的时间间隔T(15s)，血压就重复出现相同的数值，因此，血压是呈周期性变化的．象限角的判断(1)给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4(2)若α是第一象限角，则－α是第________象限角．(3)已知α＝－1910°，把α写成β＋k·360°(k∈Z，0°≤β360°)的形式，并指出它是第几象限的角．(链接教材P7例1)[解](1)选D.①－15°是第四象限角；②180°185°270°是第三象限角；③475°＝360°＋115°，而90°115°180°，所以475°是第二象限角；④－350°＝－360°＋10°是第一象限角，所以四个结论都是正确的．(2)因为α与－α的终边关于x轴对称如图所示．所以－α的终边在第四象限．故填四．(3)法一：作除法运算，注意余数必须非负，得：－1910÷360＝－6……250，所以α＝250°－6×360°，它是第三象限的角．法二：设α＝β＋k·360°(k∈Z)，则β＝－1910°－k·360°(k∈Z)，5令0°≤－1910°－k·360°360°，解得－61136k≤－1910360＝－51136，k∈Z.所以k的最大整数解为k＝－6，求出相应的β＝250°，于是α＝250°－6×360°，它是第三象限的角．在本例(3)中，写出与β的终边互为反向延长线的角γ，并指出它是第几象限的角．解：当β＝250°时，γ＝250°＋180°＋k·360°＝70°＋(k＋1)·360°＝70°＋k′·360°(其中k′＝k＋1，k∈Z)．即γ＝70°＋n·360°，n∈Z，γ是第一象限的角．方法归纳判断α是第几象限角的三个步骤第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β360°)的形式．第二步，判断β的终边所在的象限．第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．2．若角α满足α＝45°＋k·180°，k∈Z，则角α的终边落在()A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限解析：选A.当k＝0时，α＝45°，此时α为第一象限角；当k＝1时，α＝225°，此时α是第三象限角，故选A.终边落在过原点的直线上的角写出终边在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°β720°的元素β写出来．(链接教材P7例2，P8例3)[解]如图，直线y＝x过原点，它向上的方向与x轴正方向的夹角为45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}．由于－360°β720°，即－360°45°＋n·180°720°，n∈Z，解得－94n154，n∈Z.所以n＝－2，－1，0，1，2，3.所以S中适合不等式－360°β720°的元素是45°－2×180°＝－315°，45°－1×180°＝－135°，45°＋0×180°＝45°，45°＋1×180°＝225°，45°＋2×180°＝405°，45°＋3×180°＝585°.方法归纳(1)写出终边落在某条过原点的直线上的角的集合，方法步骤是：①在直角坐标系中画出该直线；②在0°～360°范围内找出满足条件的角；③写出满足条件的角的集合，并注意化简．6(2)要写出所得集合中在某个范围内的元素时，先解不等式，确定出n的取值，再逐一代入计算．3．已知角β的终边在直线y＝－x上．(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式－360°β720°的元素．解：(1)如图，直线y＝－x过原点，它是第二、四象限角的平分线所在的直线，故在0°～360°范围内终边在直线y＝－x上的角有两个：135°，315°.因此，终边在直线y＝－x上的角的集合S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋n·180°，n∈Z}．(2)由于－360°β720°，即－360°135°＋n·180°720°，n∈Z.解得－114n134，n∈Z.所以n＝－2，－1，0，1，2，3.所以集合S中适合不等式－360°β720°的元素为：135°－2×180°＝－225°；135°－1×180°＝－45°；135°＋0×180°＝135°；135°＋1×180°＝315°；135°＋2×180°＝495°；135°＋3×180°＝675°.区域角的表示如图所示，写出终边落在阴影部分(实线包括边界，虚线不包括边界)的角的集合．[解](1)由题图(1)可知，阴影部分的角按逆时针方向旋转，应由l1旋转至l2，与l1终边相同的角有60°角，与l2终边相同的角有310°角．所以题图(1)阴