三角函数模型的简单应用(教学设计)

SCH南极数学同步教学设计11.6三角函数模型的简单应用（教学设计）[教学目标]一、知识与能力：1、通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；2、体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；3、体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.二、过程与方法：通过几例具体的三角函数问题的分析探究，使学生掌握在给出具体待定模型的情况下，解决一些实际应用问题，并能够建立简单的精确三角函数模型；三、情感、态度与价值观：通过丰富多彩的“周期世界”，诱导激发学生的兴趣和情感投入，通过问题的探究、合作学习努力使学生学会学习与思考；[教学重点]精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质.[教学难点]分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题.[教学方法]创设情境—主体探究—合作交流—应用提高．[教学过程]一、问题的呈现1、给出待定的三角函数模型，解决实际问题例1（课本P60例1）如图，某地一天变化曲线近似满足：bxAy)sin((1)求这一天从6时到14时的最大温差；(2)写出这段曲线的函数解析式.解析：（1）由图可知：这段时间的最大温差是C20；（2）从图可以看出：从6～14是bxAy)sin(的半个周期的图象，Oxy61014102030SCH南极数学同步教学设计2∴86142T∴16T∵2T，∴8又∵20210301021030bA∴2010bA∴20)8sin(10xy将点)10,6(代入得：1)43sin(，∴Zkk,23243，∴Zkk,432，取43，∴)146(,20)438sin(10xxy。思考1：①?0?0AA②得到20)8sin(10xy后，代入点)20,10(结果会怎样？代入点)30,14(结果又会怎样？思考2：如何根据bxAy)sin(图象求解析式中的待定参数?;;,bA2、借助三角函数模型研究的思想方法研究一些较复杂的三角函数.例2（课本P61例2）画出函数xysin的图象并观察其周期.解析：法1：去绝对值，化为分段函数（体现转化与化归！）；法2：图象变换——对称变换，可类比xy的作法．图象如下：观察得：周期T思考：Oyx222223231SCH南极数学同步教学设计3①利用图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，是研究数学问题的常用方法；本题也可用代数方法即周期性定义验证：)(sinsin)sin()(xfxxxxf∴xxfsin)(的周期是．（体现数形结合思想！）②变式思考：xxxfsinsin)(的周期是．)3sin()(xxf的周期是．xxfsin2)(的周期是．问题的反思：根据图象写出xysin的单调增减区间.例3（课本P62例4）：如图所示，下面是瓯江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表：时间0.001.003.006.008.009.0012.0015.0018.0021.0024.00水深5.06.257.55.02.842.55.07.55.02.55.0【师】请同学们仔细观察表格中的数据，你能够从中得到一些什么信息？【生】（思考中）发现水深的最大值是7.5米，最小值是2.5米。【师】水的深度变化有什么特点吗？【生】水的深度开始由5.0米增加到7.5米，后逐渐减少一直减少到2.5，又开始逐渐变深，增加到7.5米后，又开始减少。【师】大家发现，水深变化并不市杂乱无章，而是呈现一种周期性变化规律，为了更加直观明了地观察出这种周期性变化规律，我们需要做什么工作呢？【生】需要画图。【师】非常好，下面大家拿出一张白纸，以时间为横坐标，以水深为纵坐标建立平面直角坐标系，将上面表格中的数据对应点描在平面直角坐标系中去。SCH南极数学同步教学设计4（学生活动：作图）【师】（电脑呈现作图结果）大家可以发现如果我们用平滑的曲线将上面所描各点连起来，得到的图象形状，跟我们前面所学过哪个函数类型非常的乡象？【生】跟三角函数模型很象。（师板书）【师】下面你们能把刚才同学所给的这个函数模型给求出来吗？（学生活动，求解解析式）【生】由图得【师】这样一来我们就得到了一个近似刻画水深与时间关系的三角函数模型，为了保证所选函数的精确性，通常还需要一个检验过程（因为时间关系，老师事先已经帮大家检验过了，这里就不检验，同学们可以下去检验下）有了这个模型，我们要制定一张一天24内整时刻的水深表，就是件非常容易的事情了，下面同学算一下在4时的时候水深是多少？（学生计算，最后教师呈现水深关于时间的数值表）时刻0.001.002.003.004.005.006.007.008.009.0010.0011.00水深5.0005.0006.2507.1657.5006.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754时刻24.0013.0014.0015.0016.0017.0018.0019.0020.0021.0022.0023.00水深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754SCH南极数学同步教学设计5【师】有了水深关于时间的函数模型以后，作为船长考虑的问题还没有结束，因为船只在进出港时，每艘船只的吃水深度是不一样，下面我们就看一看把这两方面的情况都考虑进去的一个问题：问题探究：一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），试问：该船何时能够进入港口？在港口能呆多久？【师】货船能够进入港口所需要满足的条件是什么？（师生一起分析）【师】只有当“实际水深吃水深度+安全间隙”时，船只才可以进去或离开港口。怎样用数学语言将这一条件给转述出来呢？【生】，即，（师生齐分析）解三角不等式，通常我们是算去边界值，然后再确定解的范围。【师】令（学生活动：操作计算器计算），【师】我们知道三角方程在实数范围内有解就有无数个，那么在[0，24]范围内，其他一些解该怎么求呢？我们来看图象情况。（电脑呈现图象）发现：在[0，24]范围内，方程的解一共有4个，从小到大依次记为：SCH南极数学同步教学设计6那么其他三个值如何求得呢？（学生思考）【师】得到了4个交点的横坐标值后，大家结合图象说说货船应该选择什么时间进港？什么时间出港呢？（学生讨论，交流）【生1】货船可以在0时30分钟左右进港，早晨5时30分钟左右出港；或者是中午12时30分钟左右进港，在傍晚17时30分钟左右出港。【生2】货船可以在0时30分钟左右进港，可以选择早晨5时30分，中午12时30分，或者傍晚17时30分左右出港。【师】上面两位同学分别给出了两种不同的进出港时间方案，同学们说说看，哪一种情况更符合实际或者说更安全。（学生讨论，最后确定方案1为安全方案，因为当实际水深小于安全深度时，货船尽管没有行驶，但是搁浅后船身完全可以馅入淤泥，即使后来水位上涨，也很可能船身不再上浮）【师】大家看看刚才整个过程，货船在进港，在港口停留，到后来离开港口，货船的吃深深度一直没有改变，也就是说货船的安全深度一直没有改变，但是实际情况往往是货船载满货物进港，在港口卸货，在卸货的过程中，由物理学的知识我们知道，随着船身自身重量的减小，船身会上浮，换句话说，随着货物的卸载，货船的安全深度不再向开始那样一直是一个常数，现在它也是一个关于时间的变量，而实际水深也一直在变化，这样一来当两者都在改变的时候，我们又改如何选择进出港时间呢？请看下面问题：3、利用问题的实际背景建立三角函数模型例4：国际大都市上海继东方明珠电视塔、金茂大厦之后，黄浦江畔的又一座景观性、标志性、文化游乐性建筑是座落于虹口区北外滩汇山码头的“上海梦幻世界摩天轮城”，占地3.46公顷总投资超过20亿元人民币，内有世界最大的摩天轮。其中摩天轮中心O距离地面200米高，直径170米。摩天轮上将安装36个太空舱，可同时容纳1100多人一览上海风光。（如图），摩天轮沿逆时针方向做匀速转动，每8分钟转一圈，若摩天轮的轮周上的点P的起始位置在最低点处（即时刻0t分钟时的位置）．已知在时刻t分钟时点P距离地面的高度)(tf（Ⅰ）求20分钟时，点P距离地面的高度；（Ⅱ）求)(tf的函数解析式.SCH南极数学同步教学设计7解析：设过摩天轮的中心O与地面垂直的直线为l，l垂直于地面于点H，lPQ于点Q，（1）∵旋转的周期8T∴20分钟后点P在最高点，距地面高度是285米.（2）t分钟时HOPt4，∴).0(,2004cos85cos85200)(ttHOPtf∴).0(,2004cos85)(tttf二、小结作业：1、小结：三角函数精确模型：(1)sin()23yAxb待定模型：（）图象模型（）实际问题中的三角函数模型三、[分层作业]A组：1、（课本P65习题1.6A组NO：1）2、（课本P65习题1.6A组NO：2）3、（课本P69复习参考题A组：NO：13）)(tfOPQ20085地面HSCH南极数学同步教学设计84、（课本P69复习参考题A组：NO：14）B组：1、（课本P69复习参考题A组：NO：15）2、（课本P69复习参考题A组：NO：16）3、（课本P69复习参考题A组：NO：18）C组：1、（课本P69复习参考题B组：NO：8）