上海交通大学工程硕士研究生入学考试数学考试大纲(2009年版)

-1--1-上海交通大学工程硕士研究生入学考试数学考试大纲（2009年版）一.基本要求要求考生在认识微积分与线性代数的研究对象及其特点的基础上，比较系统地理解微积分与线性代数的基本概念和基本理论，掌握微积分与线性代数的在解决问题时常用的基本方法。要求考生具有大学工程学科要求的抽象思维能力，逻辑推理能力，空间想象能力，比较熟练的运算能力，对较简单问题的建模能力，以及综合运用所学数学知识分析问题和解决问题的能力。二.考试形式和考试时间入学数学考试采用闭卷笔试形式；考试时间为180分钟；试卷总分为100分。三．试卷的结构与题型试卷结构高等数学（函数与极限，一元微积分，解析几何，多元微积分，级数，常微分方程）：约55%；线性代数（行列式，矩阵，向量与线性方程组，矩阵对角化，二次型）：约35%综合（指融合了初等数学，微积分与线性代数的知识的问题）：5--10%题型：填空、选择题型30--35%计算、应用题型55--60%含演绎推导的题型10%三.高等数学考试内容注：按考试要求程度的不同，对概念性理论性要点的要求以“理解”和“了解”区分，前者的要求高于后者；对方法性要点的要求以“掌握”和“能够”区分，前者的要求高于后者。1.函数、极限、连续理解函数的概念；理解函数主要特性的数学表示并掌握其判定方法（如定义域与值域、单调性、有界性，周期性、奇偶性等）；理解反函数、复合函数、初等函数的概念及其表示法，了解隐函数的概念；理解基本初等函数（含其反函数）的特点、性质，掌握它们的几何表示方法，掌握函数运算的基本方法。理解数列与函数极限的概念；理解极限与单侧极限的关系；理解数列与函数极限的性质，掌握极限运算的法则；理解无穷小与无穷大及其价的概念，理解无穷小与极限的关系；掌握数列与函数极限存在的基本准则（夹逼定理，单调有界极限存在定理），并掌握运用它们解决具体问题；知道若干个重要等价无穷小，并会用它们求极限。理解函数连续的概念，会判断间断点地类型；了解初等函数的连续性，掌握在闭区间上连续函数的性质，会应用它们分析较简单问题。2.一元函数微分学理解一元函数导数的概念及其表示法，理解函数导数的几何意义，掌握求平面曲线的切线与法线的方法；了解函数的可导与连续的关系，了解高阶导数的概念。理解微分概念及其几何表示，理解微分与函数增量之间的关系；会应用微分的概念解决简单的问题。掌握函数导数与微分的四则运算法则，掌握基本初等函数的求导方法及其导数公式表；掌握复合函数求导的链式法则；会求由隐函数和参数方程确定的函数的一、二阶导数。掌握运用函数导数对函数作分析，包括函数的单调性，极值点，最值点，曲线的凹凸性与拐点等的判定方法，了解函数曲线的渐近线，曲率等概念及其计算；会根据函数的上述特性画出函数曲线。理解Roll定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理，并会运用它们分析较简单问题。理解Taylor定理和具有Lagrange余项的Taylor展开公式，并会运用它们解决简单的分析问题。理解L’hospital法则及其应用条件，掌握用它求极限的方法。-2--2-3.一元函数积分学了解积分概念的建立背景，理解不定积分的概念，理解原函数与不定积分的关系；理解不定积分的性质，掌握基本积分公式，并运用它们进行积分。理解定积分的概念及其性质，理解Newton-Leibniz公式，理解定积分与不定积分之间的关系；了解变限积分的概念。掌握换元积分法和分部积分法，会对简单有理函数和简单物理函数进行积分。了解广义积分的概念并会进行计算。掌握微元法，会建立常见几何和物理问题的特征量的积分表达式，会运用积分概念与方法解决基本的几何、物理或其他实际问题。会用矩形法，梯形法和抛物线法作定积分的近似计算。4.常微分方程了解微分方程及其有关基本概念（阶数，解，通解，特解，积分曲线族等）。掌握一阶可分离变量方程的解法，掌握齐次微分方程和其他可化为可分离变量形式的方程的解法。掌握一阶齐次与非齐次线性微分方程的解法；会将高阶方程通过降解方式化为可解方程。了解线性微分方程的的特性和解的结构；掌握二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程法，掌握二阶常系数非齐次方程在非齐次项为特殊函数（指数函数，三角函数，多项式等）时的解法。在掌握上述基本概念和方法的基础上，根据实际问题的背景建立微分方程的模型，分析和解决不太复杂的实际问题。5.向量代数与空间解析几何理解向量，掌握向量的代数运算的方法，并了解其几何意义；掌握向量间的相对位置（平行，垂直和异面关系）的概念，并会计算。理解空间直角坐标系的概念，理解向量、单位向量和方向余弦的坐标表示；掌握用坐标进行向量各种计算的方法。掌握平面和直线的各种方程的表示及其求法；了解曲面方程的概念；了解常用二次方程及其几何图形，会求绕坐标轴旋转的曲面和母线平行于坐标轴的柱面的方程；了解空间曲线的参数方程与一般方程，了解空间曲线在坐标平面上的投影。6.多元函数微分学理解多元函数的概念，了解多元函数的极限和连续性。理解多元函数的偏导数概念及二元函数偏导数的几何意义；掌握复合函数和隐函数的一、二阶偏导数的计算方法；理解多元函数全微分的概念及其几何意义，了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线，了解可微与可偏导的关系，了解全微分存在的条件，会应用全微分解决简单的问题。了解二元函数Taylor公式；理解多元函数极值的概念，掌握求极值的方法，会应用它们解决实际问题；理解条件极值的概念，会应用Lagrange乘子法求解等式条件极值问题，会应用上述概念和方法解决简单的实际问题。了解多元函数方向导数和梯度的概念与计算方法。7.多元函数积分学理解重积分的概念，了解重积分的性质。掌握二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算方法，会进行改变积分次序后的积分区域的变换，会应用二重积分于几何与物理问题的应用。理解数量值函数与向量值函数的曲线积分的概念，了解它们的性质和关系，掌握两类曲线积分的计算方法。理解Green公式的概念和意义，会应用平面曲线积分与路径无关的条件；会求全微分的原函数，会应用二重积分和曲线积分解决几何上的简单问题。8.无穷级数理解数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，理解级数的基本性质和收敛的条件。了解级数绝对收敛和条件收敛的概念以及它们的关系。-3--3-理解几何级数和p级数的敛散性；掌握正项级数的比较判别法，比值判别法和根值判别法；掌握交错级数的Leibniz定理，会顾及收敛的交错级数的绝对误差。了解函数项级数的收敛性、收敛区间以及和函数的概念，掌握幂级数收敛半径和收敛区间的求法；了解幂级数在其收敛区间的基本性质，会求幂级数的和函数。理解Taylor级数，掌握初等函数的幂级数的展开方法，会应用Taylor级数于近似计算，了解微分方程的级数解法。了解Fourier级数的概念及其展开条件。四.线性代数考试内容1.行列式了解行列式的定义及其在解线性代数方程组的背景。掌握行列式的性质,会熟练地运用它们进行行列式的计算。理解行列式的展开定理,会对高阶特殊行列式作化简和计算。掌握Cramer法则，会用Cramer法则求解线性代数方程组。2.矩阵理解矩阵及其有关的基本概念;了解单位矩阵,零矩阵,对角矩阵,对称矩阵,反对称矩阵等特殊矩阵。理解矩阵的基本运算概念及其法则，掌握矩阵的加（减）法，数乘，乘法，转置等运算方法，以及相应的性质。理解逆矩阵的概念及其性质，理解矩阵可逆的条件，理解非奇异和奇异矩阵的概念，理解可交换矩阵的条件；掌握用初等变换方法求逆矩阵的方法，掌握用伴随矩阵的方法求逆矩阵的方法，会用逆矩阵解简单矩阵方程。理解矩阵的初等变换和初等矩阵的概念，理解矩阵的初等变换的性质，掌握用初等矩阵对矩阵作左乘和右乘的运算。理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩的方法，掌握矩阵秩的常用结论，如：（1）若A为可逆矩阵，则对于矩阵,BC，有()(),()()rABrBrCArC;（2）对同价矩阵,AB，有()(,)()()rABrABrArB，()min{(),()}rABrArB。（3）设A为n阶矩阵，*A为其伴随矩阵，则,()(*)1,()10()1nrAnrArAnrAn；（4）若A为mn矩阵，矩阵B满足0AB，则()()rArBn等等。3.n维向量与线性方程组掌握求解线性方程组的Gauss消元法。理解线性方程组的解的存在定理，理解齐次线性方程组存在非零解的充分必要条件，掌握非齐次线性方程组有唯一解、无穷多组解与无解的判别方法。理解n维向量的概念，掌握向量的代数运算。理解n维向量组的线性表示、线性相关与线性无关的概念，掌握主要的判别方法；了解两个向量组等价的概念；理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念；理解向量组的秩与矩阵的秩之间的关系；掌握向量组的线性表示、线性相（无）关，极大线性无关组与秩的一些主要结论，如：（1）线性相关的向量组增加有限个向量，形成的新向量组仍然线性相关；（2）线性无关的向量组的部分向量组仍然线性无关；（3）向量组12,,,s线性无关，向量组12,,,s，线性相关，则-4--4-向量可由向量组12,,,s线性表示，且表示式是唯一的；（4）向量组12,,,t可用向量组12,,s线性表示，且ts，则12,,,t线性无关；等等。理解齐次线性方程组的解的性质与结构，了解齐次线性方程组的基础解系和通解的概念，熟练掌握求基础解系和通解的方法。理解非齐次线性方程组的解的结构，掌握求其特解的方法，掌握利用其解的性质构造通解的方法。4．矩阵特征值与特征向量理解矩阵的特征值与特征向量的概念和性质，掌握其计算方法。掌握利用矩阵特征值问题的性质，计算矩阵多项式的特征值和特征向量，会求矩阵的逆阵和伴随矩阵的特征值和特征向量，判别矩阵特征值的可能取值，根据矩阵特征值求矩阵的行列式等。理解对称矩阵的特征值的性质，了解对称矩阵的特征值的正交性质。理解相似矩阵的概念，理解相似矩阵的特征多项式相同，特制值相同，矩阵多项式相似，有相同的行列式的值和秩数等结论。理解矩阵相似于对角矩阵的概念，以及矩阵能相似于对角矩阵（可对角化）的充要条件，掌握求矩阵的相似对角矩阵和相似变换矩阵的方法，会利用矩阵的相似对角化计算矩阵的乘幂等计算。会运用上述概念和方法，解决一些应用问题。理解实对称矩阵必能对角化的实质，理解是对称矩阵的所有特征向量组成的矩阵（特征矩阵）是正交矩阵的原因，掌握实对称矩阵对角化和求特征矩阵的方法。5.二次型理解提出二次型的背景，掌握把含有n个变量的实系数二次齐次多项式写成二次型的方法，理解这两者的对应关系，了解判别二次型的秩数的方法。理解利用正交变换将二次型化为标准型的概念，掌握转化的线性变换方法和配方方法。了解惯性定理，了解正、负惯性系数；理解正定二次型和正定矩阵及其判定的充要条件：A正定A的特征值皆正A合同于单位矩阵存在非奇异的B，使TABBA的所有顺序主子式皆正了解半正定矩阵和负定矩阵，了解上述这些矩阵的性质。五.参考资料1高等数学推荐复习教材普通高等教育“十一五”国家级规划教材：《大学数学：微积分》，（上下册），上海交通大学数学系微积分课程组编，高等教育出版社，20082线性代数推荐复习教材普通高等教育“十一五”国家级规划教材：《线性代数》（第二版），上海交通大学数学系编，科学出版社，2007注：其他同类教材也可作参考资料。