不等式竞赛题的深入思考

1思考12003年全国高中数学联合竞赛第15题为：问题1-1：设523x,证明不等式1923153212xxx探讨此不等式的下界和上界，就可将其深化为：问题1-2：已知xxxxf315321235,2x证明不等式5.88.5.fx证明先证右不等式，利用2元均值不等式，得3341210222fxxxx33210241222228.5.xxx再证左不等式2321231532fxxx1012223153101251075.8,xxx所以5.88.5.fx容易说明，上述不等式中的等号是不能成立的.思考2笔者通过深入持久的探究，曾为2007年陕西高中数学预赛命制了如下题目：问题2-1：已知1,,,12abc，求证：2222.25abbcabc如果将这个问题深化为4个字母的情景，就有如下的2问题2-2：若1,,,,22abcd，求证：222245abbccddaabcd．证明：容易证得，函数1yxx在1,12上是递减函数，在1,2上是递增函数．于是，当12x或2x时，函数1yxx在1,22上的最大值为max52y，即有152xx．（＊）由1,,22ab，知1,22ba，所以，对不等式（＊），得52baab，即222()5abab，同理222()5bcbc，222()5cdcd，222()5dada．将如面得到的４个不等式叠加，立得222245abbccddaabcd．通过分析，可以得知，不等式取等号的条件是：112,,2,22abcd，或者11,2,,222abcd．思考3第十七届“希望杯”全国数学邀请赛高二第2试的第3题为：问题3-1：设直角三角形两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，斜边上的高为h，则ab和ch的大小关系是（）A．abchB．abchC．abchD．不能确定笔者在文[1]里对此题目做了一定的探讨，偶尔，笔者从“直角三角形”，联想到了“钝角三角形”，进而得到：3问题3-2：设ABC的三内角A、B、C对应的边长分别为a、b、c，且90C，c边上的高为h，求证：.abch对于直角三角形的情景，文[1]已经给出证明，对应钝角三角形的情景，留给读者去思考与完成之．思考42008年11月2日举行的西部数学竞赛试题中，有这样一道最值题目：设,,0,1xyz，且1112xyzyzzxxy，求xyz的最大值．改写为不等式证明题，就得到问题4-1：设,,0,1xyz，且1112xyzyzzxxy，求证：334xyz.证明：将条件等式变形为2111xyzxxyyzz，即43233233233xyzxxyyzz，应用2元和3元均值不等式，得43333333xyzxxyyzz39296,xyzxyz即3396432643xyzxyzxyzxyz，化简，便得27.64xyz经分析易知，当34xyz时，如上的不等式取得等号.同样的道理，从变量的个数方面加以深化，我们可以提出如下的类似：问题4-2：设,,,0,1abcd，且111152abcdbcdcdadababc，求证：445abcd.思考5在2006年英国数学奥林匹克竞赛试题里，有这样一道不等式题（文[2]）：问题5-1：已知,,abc为正实数，求证：4222ababcabcbcacab.（1）当且仅当222abc时，等号成立.笔者在探究不等式（1）的证明时，找到它的一种有趣的加强结果.问题5-2：已知,,abc为正实数，求证：214ababcabcbcacab.（2）当且仅当222abc时，等号成立.证明：若,,abcbcacab中，其值有为零的，不等式（2）显然成立．下面证明，当,,abcbcacab三者都不为零的情景．1）若,,abcbcacab三者里只有一个为正值，不妨设为0,abc这时，应当有0,0bcacab，推出20cbcacab，显然与条件0c相矛盾。从而说明此种情况是不可能出现的．2）若,,abcbcacab三者里有二个为正值，其另一个就是负值，此时，不等式（2）显然成立．3）若,,abcbcacab三者均为正值，那么，,,abc就是某一ABC的三边长。设其面积为，注意到三角形面积的海伦----秦九韶公式()()()ppapbpc，当中，12pabc.变形，得4abcabcbcacab.于是，所要证明的不等式（2）等价于2ab.（*）这个不等式的证明是很容易的，事实上，由三角形面积公式与正弦函数的有界性，得12sin2.2ababC我们容易得出，所证不等式中的等号成立的充要条件是：222abc．综合以上，便知不等式（2）得证．从不等式（2）出发，我们容易得到如下的5问题5-3：已知,,abc为正实数，并记222min,,Qabbcca，求证：14Qabcabcbcacab．（3）思考6江西宋庆先生《中等数学》2008年第3期奥林匹克问题栏目里，提出的高221问题是：问题6-1：已知abc、、是满足1abc的正数，求证：2222221111.2323232abbcca（1）笔者通过思考与探究，建立了不等式（1）的一个有趣的类似：问题6-2：已知bca、、是满足abc1的正数，求证：2222221.2323232abcabbcca（2）证明：因为22221,21,21,aabbcc所以要证不等式（2），只要证明如下不不等式22222222211112(1)(1)2(1)(1)2(1)(1)abcabbcca（*）令222222111,,,111bcaxyzabc则正数1xyz，于是不等式（*）等价于1111222xyz，也就是(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)yzzxxyxyz，即4xyyzzxxyz，注意到1xyz，并应用3元均值不等式，得233()4xyyzzxxyzxyzxyz．故2222221.2323232abcabbcca得证．思考72004年美国数学竞赛试题里，有这样一道不等式证明题目：问题7-1：对于任意正实数abc,,，均有3525252333.aabbccabc笔者通过深入思考，给出了一个类似的题目：6问题7-2：设,,0abc，求证：25353533333aaaaaaabc.证明：因为25322321110,aaaaaaa所以53232aaa．同理，再得二式，三式叠乘，得535353222333222aaaaaaabc．于是，只要证明如下不等式就行了．22222223.abcabc事实上，由均值不等式，得22222222224bcbcbc222222222311322323231,2bcbcbcbcbcbcbc22222312bcbc．(*)由柯西不等式，得2222122122bcbcabcaa，即222212bcaabc．(**)于是，由不等式（*）和（**），便得2222222223213.2bcabcaabc得证．思考82002年越南竞赛试题里，有这样一道不等式证明题目：问题8-1：设实数,,xyz满足2229xyz，求证：7210.xyzxyz笔者见到的是三角换元证法，这里提供一种直接的代数证法．证明：不妨设222,xyz则有2223,62.xyzyz由柯西不等式，得22222xyzxyzyzxyz22222422948.yzxyzyzyzyz设yzt，则3t.于是，只要证明22948100.ttt事实上23222948100220282270.tttttttt容易推理出，所证不等式取得等号的条件是：,,xyz为2,2,1,,2,2,2,1,2．如上的证明，在于巧妙地排序和重新组合，适时地应用柯西不等式．其实，经过深入思考，可以类似证明该不等式的一个深化：问题8-2：设,,xyz是实数，且满足22220xyzrr，求证：222.xyzxyzrr