§162二元函数的极限

§16.2二元函数的极限一.重极限:二重极限复习一元函数极限：lim()xafxA0,0,(,),:xUa有()fxA机动目录上页下页返回结束则称函数(,)zfxy在点000(,)Pxy存在极限，且称A为函数(,)zfxy当0xx，0yy时的极限（重极限），记为00lim(,)xxyyfxyA或00,,lim(,)xyxyfxyA，或0lim()PPfPA1.重极限00(,)(,)lim(,)xyxyfxyA的定义定义1设函数(,)zfxy的定义域为D，000(,)Pxy是D的聚点，A是实常数；动点(,)PxyD；如果0，0，0(,)PUP，有：(,)fxyA成立，机动目录上页下页返回结束例1.用“”定义验证极限22(,)(2,1)lim()7xyxxyy:证明22()7xxyy22(4)21xxyy(2)(2)(2)2111xxxyyyy2213xxyyy(,)((2,1),1)xyU限制(,)21,11,xyxy14145yy2157xy0,要使:22()7xxyy7251xy721xy机动目录上页下页返回结束取min1,0,142,1,xy当时22:()7xxyy有71422(,)(2,1)lim()7xyxxyy故(,)((2,1),)(xyU方)机动目录上页下页返回结束2221:02xyxy有22200lim0xyxyxy故例2.用“”定义验证极限22200lim0xyxyxy.:0,证明要使:2220xyxy220xyyxy102y20,取0,0,xy当时(,)((0,0),)(xyU方)机动目录上页下页返回结束例3求证证01sin)(lim222200yxyxyx01sin)(2222yxyx22221sinyxyx22yx,0,当时，22)0()0(0yx01sin)(2222yxyx原结论成立．(,)((0,0),)(xyU圆)机动目录上页下页返回结束例4.设2222,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0).xyxyxyfxyxyxy证明(,)(0,0)lim(,)0xyfxy。(用极坐标变换):证明cos,sin.xryr令(极坐标变换),(,)(0,0)xy则,0r都有0,:要使(,)0fxy2222xyxyxy21sin44r214r2214xy222,xy只要机动目录上页下页返回结束20,取220,rxy当时:(,)0fxy不论取什么值,都有(,)(0,0)lim(,)0xyfxy故(,)((0,0),)(xyU圆)机动目录上页下页返回结束2.海涅归结原则定理1.0lim()PPPDfPA，对D的每一个子集E，只要点0P是E的聚点,就有0lim()PPPEfPA.推论1.设1ED，0P是1E的聚点。若极限01lim()PPPEfP不存在，则极限0lim()PPPDfP也不存在.机动目录上页下页返回结束通常为了证明极限0lim()PPfP不存在，可证明沿某条曲线的极限不存在，或证明沿某两条曲线的极限不相等，但应注意，沿任何方向的极限存在且相等重极限存在(以下例６)。机动目录上页下页返回结束例5.设22,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0).xyxyxyfxyxy证明极限(,)(0,0)lim(,)xyfxy不存在.:证明(,)(0,0)xyykx当动点沿着直线而趋于定点时,(,)fxy由于此时(,)fxkx22xkxxkx2,1kk(,)(0,0)lim(,)xyykxfxy0lim(,)xfxkx2.1kk,k这一结果表明动点沿不同斜率的直线趋于原点时,对应的极限值也不同因此所讨论的极限不存在.机动目录上页下页返回结束0f0fxyo1f1f21,0,.(,)0,6yxxfxy当设其余部分例(,)(0,0)xy当点沿着任何直线趋于原点时,(,)0,fxy但这并不表明,(,)(0,0)xy在时,(,).fxy函数的极限存在2(,)xyykx当点沿着抛物线(01)(0,0),k趋于点时(,)1,fxy(,)(0,0)lim(,)xyfxy极限不存在.机动目录上页下页返回结束例7证明不存在．证26300limyxyxyx取,3kxy26300limyxyxyx6263303limxkxkxxkxyx,12kk其值随k的不同而变化，故极限不存在．机动目录上页下页返回结束不存在.观察26300limyxyxyx,263图形yxyxz播放机动目录上页下页返回结束二元函数函数极限具有与一元函数极限类似的运算性质.例8求下列极限:222(,)(0,0)(,)(3,0)2222(,)(0,0)(,)(0,0)sin).lim,).lim,11ln(1)).lim,).lim.xyxyxyxyxyxyiiixyyxyxyiiiivxyxy:).i解2220xyxy22xyxxy2x,由夹逼定理知222(,)(0,0)lim0,xyxyxy0,(,)(0,0)xy机动目录上页下页返回结束(,)(3,0)sin).limxyxyiiy(,)(3,0)sinlimxyxyxxy3,(,)(0,0)11).limxyxyiiixy22(,)(0,0)11lim11xyxyxyxy(,)(0,0)1lim11xyxy1,22222(,)(0,0)ln(1)).limxyxyivxy22txy令0ln(1)limttt01(1)lim1tt1.机动目录上页下页返回结束例9求极限.)sin(lim22200yxyxyx解22200)sin(limyxyxyx,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0,1222yxyxx21,00x.0)sin(lim22200yxyxyxyxu2机动目录上页下页返回结束3．极限00(,)(,)lim(,)xyxyfxy的定义定义2.设函数(,)zfxy的定义域为数集000,(,)DPxy是D的聚点，动点(,)PxyD；如果0M，0，0(,)PUPD，有：(,)fxyM成立，则称函数f在D上当0PP时，存在非正常极限，记为0lim()PPPDfP简记0lim()PPfP，或00,,lim(,)xyxyfxy。其他类型的非正常极限0lim()PPPDfP(,)fxyM0lim()PPfP00(,)(,)lim(,)xyxyfxy(,)fxyM0lim()PPPDfP0lim()PPfP00(,)(,)lim(,)xyxyfxy机动目录上页下页返回结束例10.验证22(,)(0,0)1lim23xyxy.:证明0,:M要使22123xy2213xy,M221,3xyM只要2213xyM即10,3M取220xy当时,221,23Mxy有:22(,)(0,0)1lim23xyxy故(,)(0,0),xyU机动目录上页下页返回结束二.累次极限上段研究的极限00(,)(,)lim(,)xyxyfxy中,两个自变量,xy同时以任何方式趋于00,xy.这种极限又称为重极限.在这一段里,我们要考察x与y依一定的先后顺序趋于0x与0y时f的极限,这种极限称为累次极限.机动目录上页下页返回结束1.累次极限的定义定义3.设0,,xyEExR是xE的聚点，0y是yE的聚点，二元函数f在集合xyDEE上有定义.若对每一个0,yyEyy,存在极限00lim(,)xxxxEfxy,此极限一般与y有关,记作:00()lim(,)xxxxEyfxy,如果进一步存在极限00lim()yyyyELy,则称此极限为f先对x(0x)后对y(0y)的累次极限，记作0000limlim(,)yxyyxxyExELfxy,简记00limlim(,)yyxxLfxy.类似地可定义先对y后对x的累次极限，00limlim(,)xxyyKfxy0000limlim(,)xyxxyyxEyEKfxy先对y(0y)后对x(0x)00lim()xxxxEKx00()lim(,)yyyyExfxyx00lim(,)yyyyEfxy0,xxExx常认为均是区间机动目录上页下页返回结束例11.设22(,)xyfxyxy，求在点(0,0)的两个累次极限。:解0:y当时,有220limxxyxy0,2200limlimyxxyxy从而有0,2200:limlim0.xyxyxy同理得22(,)(0,0)lim,xyxyxy:此注例重极限不存在见例5.机动目录上页下页返回结束例12.设2222(,)xyfxyxy,求在点(0,0)的两个累次极限。:解0:y当时,有22220limxxyxy22yy1,222200limlimyxxyxy从而有1,222200:limlimxyxyxy同理得220limxxx1.2222(,)(0,0)limxyxyxy:此例中重极限注不存在.机动目录上页下页返回结束例13.设11(,)sinsinfxyxyyx，求在点(0,0)的两个累次极限。:解0:y当时011limsinsinxxyyx不存在,0011limlimsinsinyxxyyx从而有不存在.0011:limlimsinsinxyxyyx同理得不存在.(,)(0,0)lim(,),,xyfxy:此例中重极限存在事实上注11(,)sinsinfxyxyyx0xy0(,)(0,0)lim(,)0.xyfxy机动目录上页下页返回结束2.重极限与累次极限的关系⑴两个累次极限存在时，可以不相等.(例12)⑵两个累次极限中的一个存在时,另一个可以不存在.例如函数1(,)sinfxyxy在点(0,0)的情况。⑶重极限存在时,两个累次极限可以不存在.如例13。⑷两个累次极限存在(甚至相等)重极限存在.(参阅例5和例11).综上所述，重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系。但有以下确定关系.机动目录上页下页返回结束定理2若重极限00(,)(,)lim(,)xyxyfxy和累次极限00limlim(,)xxyyfxy（或另一次序）都存在，则必相等。:证明00(,)(,)lim(,),xyxyfxyA设0,则0,0000,,(,)(,)xxyyxyxy当且时,(,).(1)fxyA有:000lim(,)()yyxxfxyx又当时,有:0,(1),:().yyxA于是中令得0lim(),xxxA0000(,)(,)limlim(