《简单的线性规划》习题课学案

1《简单的线性规划》习题课学案华川中学数学组【学习目标】1、能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题；2、培养观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高“建模”和解决实际问题的能力。【学习重点】用图解法解决简单的线性规划问题。【学习过程】一、学习准备：1、二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)把平面分成三部分。________________和____________表示直线两侧的部分，____________表示直线上所有的点。在直线同一侧的点的坐标对于代数式Ax+By+C的值的符号___________。可简称为“同侧_____”2、平面区域的判定判断Ax+By+C=0＞0（或＜0）(A2+B2≠0)表示的平面区域的方法是“特殊点定域法”，即：①当C≠0时，可取原点（0，0）,当原点坐标使不等式成立时，就是_____________的区域；不成立时，就是_____________的区域。②当C=0时，可取（1，0）或（0，1），使不等式成立的就是__________的一侧；不成立时，是另一侧。3、用图解法解线性规划问题的一般步骤：（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；（3）求：通过解方程组求出最优解；（4）答：作出答案。4、解线性规划应用问题的一般步骤：（1）审：理清题意，列出表格；（2）设：根据题意设好变元；（3）列：列出线性约束条件（不等式组）与目标函数；（4）作：准确地作图；（5）算：解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最优解。（6）答：作出答案。二、例题探究例1：不等式组,43,43,0yxyxx所表示的平面区域的面积等于（）A．23B．32C．34D．43变式训练1：在坐标平面上，不等式组,1||3,1xyxy所表示的平面区域的面积是（）2A．2B．23C．223D．2变式训练2：求不等式组,1||,1|1|xyxy所表示的平面区域的面积。解题反思：此类问题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出面积，而要将平面区域作出来的关键是能够对不等式组中的两个不等式进行化简和变形。如何变形？___________________________变式训练3：在平面直角坐标系中，若不等式组,01,01,01yaxxyx（a为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为（）A．－5B．1C．2D．3解题反思：本题用了什么样的解题思想和方法？例2：制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A药品3g，B药品4g，C药品4g；乙种烟花每枚含A药品2g，B药品5g，C药品6g，已知每天原料的使用额为A药品120g，B药品100g，C药品240g。问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能使产量最大？变式训练：若甲种烟花每枚可获利20元，乙种烟花每枚可获利10元，才能获利最大？解题反思：线性规划问题在解决实际问题时，要注意条件。【达标检测】一、选择题:1、不等式组,30,0))(5(xyxyx表示的平面区域是一个（）A．三角形B．直角梯形C．梯形D．矩形32、不等式组,30,,05xayyx表示的平面区域是一个三角形，则a的范围是（）A．a＜5B．a≥8C．5a＜8D．a＜5或a≥83、配制A，B两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配A种药剂需甲原料3毫克，乙原料5毫克；配B种药剂需甲原料5毫克，乙原料4毫克。今有甲原料20毫克，乙原料25毫克，若A，B两种药至少各配一剂，则共有配制方法（）A．2种B．4种C．6种D．8种4、求不等式|x－１|+|y－１|≤2表示的平面区域的面积。【课后作业】P98复习参考题七A组15、16题【资源链接】最优化方法一、基本定义最优化方法（也称做运筹学方法）是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为现代管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。本章将介绍最优化方法的研究对象、特点，以及最优化方法模型的建立和模型的分析、求解、应用。主要是线性规划问题的模型、求解（线性规划问题的单纯形解法）及其应用――运输问题；以及动态规划的模型、求解、应用――资源分配问题。二、数学意义为了达到最优化目的所提出的各种求解方法。从数学意义上说，最优化方法是一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达到极值，即最大值或最小值。从经济意义上说，是在一定的人力、物力和财力资源条件下，使经济效果达到最大（如产值、利润），或者在完成规定的生产或经济任务下，使投入的人力、物力和财力等资源为最少。三、发展简史公元前500年古希腊在讨论建筑美学中就已发现了长方形长与宽的最佳比例为1：0.618,称为黄金分割比。其倒数至今在优选法中仍得到广泛应用。在微积分出现以前，已有许多学者开始研究用数学方法解决最优化问题。例如阿基米德证明：给定周长，圆所包围的面积为最大。这就是欧洲古代城堡几乎都建成圆形的原因。但是最优化方法真正形成为科学方法则在17世纪以后。17世纪，I.牛顿和G.W.莱布尼茨在他们所创建的微积分中，提出求解具有多个自变量的实值函数的最大值和最小值的方法。以后又进一步讨论具有未知函数的函数极值，从而形成变分法。这一时期的最优化方法可以称为古典最优化方法。第二次世界大战前后，由于军事上的需要和科学技术和生产的迅速发展，许多实际的最优化问题已经无法用古典方法来解决，这就促进了近代最优化方法的产生。近代最优化方法的形成和发展过程中最重要的事件有：以苏联Л.В.康托罗维奇和美国G.B.丹齐克为代表的线性规划；以美国库恩和塔克尔为代表的非线性规划；以美国R.贝尔曼为代表的动态规划；4以苏联Л.С.庞特里亚金为代表的极大值原理等。这些方法后来都形成体系，成为近代很活跃的学科，对促进运筹学、管理科学、控制论和系统工程等学科的发展起了重要作用。四、工作步骤用最优化方法解决实际问题，一般可经过下列步骤：①提出最优化问题，收集有关数据和资料；②建立最优化问题的数学模型,确定变量,列出目标函数和约束条件；③分析模型，选择合适的最优化方法；④求解，一般通过编制程序，用计算机求最优解；⑤最优解的检验和实施。上述5个步骤中的工作相互支持和相互制约，在实践中常常是反复交叉进行。五、最优化方法的应用最优化一般可以分为最优设计、最优计划、最优管理和最优控制等四个方面。①最优设计:世界各国工程技术界,尤其是飞机、造船、机械、建筑等部门都已广泛应用最优化方法于设计中，从各种设计参数的优选到最佳结构形状的选取等，结合有限元方法已使许多设计优化问题得到解决。一个新的发展动向是最优设计和计算机辅助设计相结合。电子线路的最优设计是另一个应用最优化方法的重要领域。配方配比的优选方面在化工、橡胶、塑料等工业部门都得到成功的应用,并向计算机辅助搜索最佳配方、配比方向发展(见优选法)。②最优计划:现代国民经济或部门经济的计划，直至企业的发展规划和年度生产计划，尤其是农业规划、种植计划、能源规划和其他资源、环境和生态规划的制订,都已开始应用最优化方法。一个重要的发展趋势是帮助领导部门进行各种优化决策。③最优管理：一般在日常生产计划的制订、调度和运行中都可应用最优化方法。随着管理信息系统和决策支持系统的建立和使用，使最优管理得到迅速的发展。④最优控制：主要用于对各种控制系统的优化。例如，导弹系统的最优控制，能保证用最少燃料完成飞行任务,用最短时间达到目标;再如飞机、船舶、电力系统等的最优控制，化工、冶金等工厂的最佳工况的控制。计算机接口装置不断完善和优化方法的进一步发展，还为计算机在线生产控制创造了有利条件。最优控制的对象也将从对机械、电气、化工等硬系统的控制转向对生态、环境以至社会经济系统的控制。