8轴测图

普通高等学校土木工程专业精编系列规划教材土木工程制图主编蒲小琼目录下页上页8轴测图目录下页上页内容提要能力要求本章主要内容包括轴测图的基本知识、几种轴测图的画法和轴测图的选择等内容。本章的教学重点是正等测图、正面斜二测图和水平斜等测图的画法；教学难点为轴测图中圆的画法及轴测图的选择。通过本章的学习，学生应达到掌握正确选择轴测图的原则和方法，具备绘制常见建筑形体正等测图、正面斜二测图和水平斜等测图的能力。8.1轴测图的基本知识8.2正等测图8.3斜轴测图8.4轴测图的选择8.5工程实训◎习题与思考题目录下页上页8轴测图目录下页上页§8.1轴测图的基本知识8.1.1轴测图的形成及术语8.1.1.1轴测图的形成（1）正轴测图改变物体相对于投影面的位置，将物体放置成对投影面成倾斜位置，但投射线仍保持垂直于投影面的方向，这样所得到的正投影就能反映出物体三个方向的表面，具有立体感。让物体的正面平行于投影面，改变投射线对投影面的方向，使投射线与投影面倾斜，这样所得到的斜投影除反映物体正面的实形外，还反映其另外两个方向的表面，具有立体感。（2）斜轴测图8.1.2轴测图的性质（1）平行性①空间物体上平行于坐标轴的线段，其轴测投影平行于相应的轴测轴；②空间物体上相互平行的线段，其轴测投影仍互相平行。（2）定比性①空间点分线段为某一比值，则点的轴测投影分线段的轴测投影为同一比值。②两线段的轴测投影长度之比与空间二线段长度之比相等。画轴测图时，只能沿轴测轴的方向和按轴向伸缩系数来确定线段，这就是“轴测”二字的由来。8.1.3轴测图的分类根据投影方向S与轴测投影面P的倾角不同，轴测图分为正轴测图和斜轴测图。8.1.4轴测图的画法8.1.4.1轴测图绘制的基本方法绘制轴测图常用的方法有坐标法、切割法、端面法和叠加法。无论用那种方法绘制形体的轴测图，坐标法都是最基本的方法，其他方法都是以坐标法为基础的。8.1.4.2轴测图绘制的步骤（1）对物体进行形体分析，在正投影图上定出坐标原点和坐标轴；（2）按所选轴侧图的种类，选取相应的轴间角，绘出轴测轴；（3）在正投影图上沿轴向测量尺寸，再按相应的轴向伸缩系数，根据正投影图逐步画出物体轴测图；（4）检查，擦去多余的图线，加深轴测图中可见轮廓线，完成全图。8.2.1正等测的轴间角和轴向伸缩系数§8.2正等轴测图正等轴测图的轴间角=120º，轴向伸缩系数p=q=r=0.82。通常，为简化作图，正等轴测图采用简化轴向伸缩系数p=q=r=1。显然，用简化轴向伸缩系数所作的正等测图是沿轴向放大为1.22倍（1/0.82≈1.22）。8.2.2平面立体正等测图的绘制8.2.2.1坐标法坐标法就是根据点的空间坐标画出其轴测投影，然后连接各点完成形体的轴测图。它主要用于绘制那些由顶点连线而成的简单平面立体或由一系列点的轨迹光滑连接而成的平面曲线或空间曲线。【例8-2-1】已知三棱锥S-ABC的二面投影，求作其正等测图，如图8-3所示。分析：为简化作图，将棱锥底面置于直角坐标面X1O1Y1上。图8-3三棱锥轴测图的画法作图：①先在正投影图上定出原点和坐标轴的位置，如图8-3（a）。②画轴测轴，如图8-3（b）；③按简化伸缩系数分别作出A1、B1、C1的水平面次投影，即为其轴测投影A1、B1C1；同时作出锥顶的水平面次投影s1，如图8-3（c）；④过s1作s1S1∥O1Z1，取s1S1=ZS，得S1，如图8-3（c）；⑤连S1-A1B1C1，并判别可见性，将可见的棱线画成粗实线，不可见的棱线画成虚线8.2.2.2切割法由于有些形体是由基本几何形体切割而成，因此，这类形体轴测图的绘制也可按其形成过程，即先画出整体，然后再依次去掉被切除部分，从而完成形体的轴测图。【例8-2-2】如图8-4（a）所示，试根据带切口四棱柱的正投影图，绘制其正等测图。（1）对物体进行形体分析，在三视图上定出坐标原点和坐标轴。（2）画出轴测轴，如图8-4（b）所示。图8-4带切口四棱柱的正等测图（3）画正等测图。①画出基本体的正等测图。②按尺寸a切去前上角多余部分，如图8-4（d）所示；③按尺寸l1、l2和h1切去中间槽口，如图8-4（e）所示；④擦去作图线，判别可见性并加粗轮廓线，完成全图，如图8-4（f）所示。8.2.2.3端面法如图8-5所示，首先作出左端面的轴测图，然后过端面各顶点，作平行于X1轴的一系列棱线的轴测图，从而成完成整个轴测图的绘制。对此例来说，此方法更显得方便。8.2.2.4叠加法由于有些形体是由基本几何形体经叠加而成，因此，这类形体轴测投影图的绘制可将其分为几个部分，然后按叠加方式逐个画出各个部分的轴测图，从而得到整个物体的轴测图。【例8-2-3】如图8-6（a）所示，试根据物体的正投影图，绘制其正等测图。（1）对物体进行形体分析，根据物体的结构特点，为了便于作图，在正投影图上定出坐标原点和坐标轴。如图8-6（a）所示。（2）按正等轴侧图对轴间角的规定，绘制轴侧图上坐标原点和轴测轴的投影；如图8-6（b）所示。（3）根据其特点，选用叠加法逐步画出物体轴测图。8.2.3曲面立体的正等测图的绘制8.2.3.1平行于坐标面的圆的正等测图正等轴测图中椭圆长轴等于圆的直径d，短轴等于0.58d，如图8-7（b）所示。采用简化轴向伸缩系数后，长度放大到1.22倍，即长轴为1.22d，短轴为0.58d×1.22≈0.7d，如图8-7（c）所示。（2）用四心圆近似画法画水平圆的正等轴测图①在正投影图中定出原点和坐标轴并作圆的外切正方形，如图8-8（a）所示；②画出轴测轴，沿轴截取半径长为R，得椭圆上四点A1、B1、C1、D1，从而作出外切正方形的轴测图菱形，如图8-8（b）所示；③菱形短对角线的端点为11、21，连11A1（或11D1）、21B1（或21C1）,分别交菱形的长对角线于31、41两点，得四个圆心11、21、31、41，如图8-8（c）所示；④以11为圆心，11A1（或11D1）为半径作弧A1D1；又以21为圆心，作另一圆弧B1C1，如图8-8（d）所示；⑤分别以31、41为圆心，以31A1（或31C1）、41B1（或41D1）为半径作圆弧A1C1及B1D1，如图8-8（e）所示；⑥擦去作图线，即得水平圆的正等测图，如图8-8（f）所示。8.2.3.2圆柱的正等测图画法【例8-2-4】作出图8-9（a）所示圆柱的正等测图。分析：根据圆柱的对称性和可见性，可选圆柱的顶圆圆心为坐标原点。①以圆柱顶圆圆心为坐标原点，选定坐标轴，如图8-9（a）所示；②作轴测轴，画出顶圆的轴测图，如图8-9（b）所示；③作平行于Z1轴并与两椭圆相切的转向轮廓线，并作出底圆的轴测图，如图8-9（c）所示；④擦去作图线，并加深，如图8-9（d）所示。8.2.3.3圆角的正等测图一般的圆角正好是圆周的四分之一，所以它们的轴测图正好是近似椭圆四段圆弧中的一段，图8-11表示了圆的正投影图、轴测图和把圆分成四段圆弧的轴测图的关系。自菱形各顶点起，在边线上截取长度R（圆角的半径），得各切点；过各切点分别作该边线的垂线，垂线两两相交；所得的交点分别为各段圆弧的圆心。然后以r1、r2为半径画圆弧，即得四个圆角的正等测图。当投影方向对轴测投影面P倾斜时，形成斜轴测图。在斜轴测图中，以V面平行面作为轴测投影面，所得的斜轴测图称为正面斜轴测图。§8.3斜轴测图8.3.1正面斜二测图8.3.1.1正面斜二测图的轴间角和轴向伸缩系数轴间角∠X1O1Z1=90º，X1和Z1方向的轴向伸缩系数均为1，即p=r=1。至于轴间角∠X1O1Y1和O1Y1的轴向伸缩系数则随投影方向而定，通常选用O1Y1与水平方向成45º，O1Y1的伸缩系数常取为0.5。轴间角和轴向伸缩系数8.3.1.2平行于坐标面的圆的斜二测图的画法平行弦法画椭圆平行弦法就是通过平行于坐标轴的弦来定出圆周上的点，然后作出这些点的轴测图，光滑连线求得椭圆。例：用平行弦法求作XOY坐标面上圆的正面斜二测图，如图8-16（a）所示。①用平行于OX轴的弦EF分割圆O，得分点E、F，如图７-16（a）所示；②画轴测轴O1-X1Y1Z1，如图8-16（b）所示，取简化轴向伸缩系数p=r=1，q=0.5；③求出点A、B、C、D、E、F的轴测图A1、B1、C1、D1、E1、F1，如图8-16（c）所示，利用上述平行弦可求出圆周上一系列点的轴测图；④用曲线光滑连接A1、E1、D1、F1、B1、C1各点，即得到圆O的斜二测图，如图8-16（d）所示。8.3.1.3正面斜二测作图举例【例8-3-1】画出图8-17（a）所示挡土墙的斜二测图。分析：此挡土墙的正面反映其形状特征，故选用与XOZ面平行的轴测投影面，然后沿Y向延伸，即可画出该立体的斜二测图。①在正投影图中选挡土墙前端面的右下角为直角坐标原点，如图8-17（a）所示；②画轴测轴，并画出挡土墙前端面形状，如图8-17（b）所示；③挡土墙前端面沿Y方向延伸，如图8-17（c）所示；④取q=0.5，完成挡土墙前端面延伸后的图形，如图8-17（d）所示；⑤在挡土墙前端面取q=0.5，完成支撑板的轴测图，檫去辅助线并加深，如图8-17（e）所示。图8-17挡土墙的正面斜二测图8.3.2水平斜等测图8.3.2.1水平斜等测图的轴间角和轴向伸缩系数水平斜等测图一般用来绘制一个建筑群的鸟瞰图或一个区域的总平面图。画图时，通常将Z1轴画成铅垂方向，而O1X1与水平线成60º、45º或30º。轴间角∠X1O1Y1=90º，∠X1O1Z1=120º、135º或150º，轴向伸缩系数p=q=r=1，如图所示。轴间角和轴向伸缩系数8.3.2.2水平斜等测图作图举例【例8-3-2】画出图8-18（a）所示房屋的水平斜等测图。（a）图8-18房屋的水平斜等轴测图分析：该房屋特征面是平行于H面的，因此选用水平斜等测图来表示，各轴向伸缩系数均为1。①选择坐标原点和坐标轴，如图8-18（a）所示；②画轴测轴。先画中间的矩形，再画左右两侧不完整的矩形，如图8-18（b）所示；③过旋转后房屋平面图上的各顶点沿Z1轴方向画平行线，并根据立面图中建筑物的高度依次截取各长度。如图8-18（c）所示。④根据正投影图连线，擦去多余的图线，加深，完成房屋的轴测图，如图8-18（d）图8-18房屋的水平斜等轴测图图8-18房屋的水平斜等轴测图8.4.1轴测投图种类的选择§8.4轴测图的选择在选择轴测投影种类时，必须考虑以下几个方面：（1）应尽量完全表达出物体的形状特征，避免遮挡，使物体的各部分都可见。图8-19（b）所示物体的正等测图，它不能反映出物体上的孔是否通孔。但若选用8-19（c）所示正面斜二测图，孔的结构就清楚了。（2）应避免物体上的表面在轴测图中的投影积聚成直线。如图8-20所示物体，若采用图8-20（b）所示的正等测图来表达，有两个表面在轴测图上积聚成了直线，其直观性差；但若采用图8-20（c）所示的水平斜等测图所示的正二测图来表达，形体的立体效果就很明显了。（3）应避免轴测图失真。如图8-21所示，（c）、（d）失真，不如（b）好。图8-21正确选择投射方向（4）应使作图方法简便。如图8-19所示物体，用正等测图和正面斜二测图都能表达其形状，但由于该物体的正面形状比较复杂（有圆孔和半圆柱面），故采用正面斜二测图绘制更方便，如图8-19（c）所示。【例8-5-1】如图8-22（a）所示，已知正六棱柱的二面投影，试绘制其正等测图。（1）形体分析，在正投影图上定出坐标原点和坐标轴。§8.4工程实训（2）按正等轴侧图对轴间角的规定，画出轴测轴。如图8-22（b）所示。（3）采用坐标法，沿轴方向测量，首先作出A、D、Ⅰ、Ⅱ四点的轴测投影A1、D1、Ⅰ1、Ⅱ1，再分别过Ⅰ1、Ⅱ1两点作直线平行于O1X1，求得B、C、E、F四点的轴测投影B1、C1、E1、F1，最后顺序连接A1、B1、C1、D1、E1、F1，即为所求顶面的正等测图，如图8-22（b）所示；（4）采用端面延伸法（图8-5所示方法），完成正六棱柱的正等测图