立体几何知识点总结完整版

立体几何知识点总结完整版2013考纲解读1面的概念及面的表示法理解个理及个推论的内容及作用初掌握性质推论的简单用2空间两条直线的种位置关系并会判定3行理等角定理及推论了解它们的作用会用它们来证明简单的几何问题掌握证明空间两直线行及角相等的方法4异面直线所成角的定异面直线垂直的概念会用形来表示两条异面直线掌握异面直线所成角的范围会求异面直线的所成角5.理解空间向的概念掌握空间向的加法法和数乘;了解空间向的基本定理理解空间向坐标的概念掌握空间向的坐标算;掌握空间向的数的定及性质掌握用直角坐标计算空间向数式.6.了解多面体凸多面体多面体棱柱棱锥球的概念.掌握棱柱,棱锥的性质,并会灵活用,掌握球的表面体式;能画出简单空间形的视能识别述的视所表示的立体模型会用斜二测法画出它们的直.7.空间行垂直关系的论证.8.掌握直线面所成角二面角的计算方法掌握垂线定理及逆定理并能熟解决有关问题,进一掌握异面直线所成角的求解方法熟解决有关问题.9.理解点到面直线和直线直线和面面和面距离的概念会用求距离的常用方法如直接法转法向法.对异面直线的距离只要求学生掌握作出垂线段或用向表示的情况和距离式计算距离知识络构建重点知识整合1空间几何体的视(1)视线几何体的前面向后面投影得到的投影(2)侧视线几何体的面向右面投影得到的投影(3)俯视线几何体的面向面投影得到的投影几何体的视侧视和俯视统几何体的视2斜二测画水放置的面形的基本骤(1)建立直角坐标系在已知水放置的面形中取互相垂直的OxOy建立直角坐标系(2)画出斜坐标系在画直的纸(面)画出对的Ox′Oy′使∠x′Oy′45°(或135°)它们确定的面表示水面(3)画对形在已知形中行于x轴的线段在直中画成行于x′轴且长度保持变在已知形中行于y轴的线段在直中画成行于y′轴且长度变原来的一半(4)擦去辅线画好后要擦去x轴y轴及画添加的辅线(虚线)3.体表面式:(1)柱体的体式:V=柱Sh;锥体的体式:V=锥13Sh;体的体式:V=棱1()3hSSSS′′++;球的体式:V=球343rπ.(2)球的表面式:24SRπ=球.高频考点突破考点一空间几何体视1一个物体的视的排列规则是俯视放在视的面长度视的长度一样侧视放在视的右面高度视的高度一样宽度俯视的宽度一样即“长对高齐宽相等”2画直时坐标轴行的线段行x轴z轴行的线段长度变y轴行的线段长度半例1将长方体截去一个四棱锥得到的几何体如所示则该几何体的侧视()解析如所示点D1的投影点C1点D的投影点C点A的投影点B.答案D方法技该类问题要有两种类型一是由几何体确定视二是由视原成几何体解决该类问题的关键是找准投影面及个视之间的关系抓住“侧一样高俯一样长俯侧一样宽”的特点作出判断.考点二空间几何体的表面和体常的一些简单几何体的表面和体式圆柱的表面式S2πr22πrl2πr(rl)(中r面半径l圆柱的高)圆锥的表面式Sπr2πrlπr(rl)(中r面半径l母线长)圆的表面式Sπ(r′2r2r′lrl)(中r和r′别圆的面半径l母线长)柱体的体式VSh(S面面h高)锥体的体式V13Sh(S面面h高)体的体式V13(S′S′SS)h(S′S别面面h高)球的表面和体式S4πR2V43πR3(R球的半径)例2如所示某几何体的视是行四边形侧视和俯视都是矩形则该几何体的体()A63B93C123D183解析由视原几何体的直如所示几何体通过割和补形的方法拼凑成一个长和宽均3高3的长方体所求体V3×3×393.答案B方法技1求棱锥体时多角度地选择方法如体割体差等转法是常用的方法2视相结合考查面或体的计算时解决时原几何体计算时要结合面形要弄错相关数3求规则几何体的体常用割或补形的思想将规则几何体转规则几何体易于求解4对于合体的表面要注意衔接部的处理.考点球空间几何体的“”“接”问题1长方体方体的外接球体对角线长该球的直径2方体的内球棱长球的直径3棱锥的外接球中要注意棱锥的顶点球心及面角形中心共线4四面体的外接球内球的半径之比31.例3一个棱锥的视如则该棱锥的外接球的表面________方法技1涉及球棱柱棱锥的接问题时一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面把空间问题面问题2若球面四点PABC构成的线段PAPBPC两两垂直且PAaPBbPCc则4R2a2b2c2(R球半径)采用“补形”法构造长方体或方体的外接球去处理考点四空间线线线面位置关系(1)线面行的判定定理a⊄αb⊂αa∥b⇒a∥α.(2)线面行的性质定理a∥αa⊂βα∩βb⇒a∥b.(3)线面垂直的判定定理m⊂αn⊂αm∩nPl⊥ml⊥n⇒l⊥α.(4)线面垂直的性质定理a⊥αb⊥α⇒a∥b.例4如在四面体PABC中PC⊥ABPA⊥BC点DEFG别是棱APACBCPB的中点(1)求证DE∥面BCP(2)求证四边形DEFG矩形(3)是否在点Q到四面体PABC条棱的中点的距离相等说明理由解(1)证明因DE别APAC的中点所DE∥PC.又因DE⊄面BCP所DE∥面BCP.(2)证明因DEFG别APACBCPB的中点所DE∥PC∥FGDG∥AB∥EF.所四边形DEFG行四边形又因PC⊥AB所DE⊥DG.所四边形DEFG矩形(3)在点Q满足条件理由如连接DFEG设QEG的中点由(2)知DF∩EGQ且QDQEQFQG12EG.别取PCAB的中点MN连接MEENNGMGMN.(2)同理证四边形MENG矩形对角线交点EG的中点Q且QMQN12EG所Q满足条件的点方法技1证明线线行常用的两种方法(1)构造行四边形(2)构造角形的中位线2证明线面行常用的两种方法(1)转线线行(2)转面面行3证明直线面垂直往往转证明直线直线垂直而证明直线直线垂直又需要转证明直线面垂直.考点五空间面面位置关系1面面垂直的判定定理a⊂βa⊥α⇒α⊥β.2面面垂直的性质定理α⊥βα∩βla⊂αa⊥l⇒a⊥β.3面面行的判定定理a⊂βb⊂βa∩bAa∥αb∥α⇒α∥β.4面面行的性质定理α∥βα∩γaβ∩γb⇒a∥b.5面面行的证明有它方法1ab⊂α且a∩bAcd⊂β且c∩dBa∥cb∥d⇒α∥β(2)a⊥αa⊥β⇒α∥β.例5如在四棱锥PABCD中面PAD⊥面ABCDABAD∠BAD60°EF别是APAD的中点求证(1)直线EF∥面PCD(2)面BEF⊥面PAD.证明(1)如在△PAD中因EF别APAD的中点方法技1垂直问题的转方向面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直要依据有关定及判定定理和性质定理证明体如(1)证明线线垂直线线垂直的定线面垂直的定勾股定理等面几何中的有关定理(2)证明线面垂直线面垂直的判定定理线面垂直的性质定理面面垂直的性质定理(3)证明面面垂直面面垂直的定面面垂直的判定定理2证明面面行的常用的方法是利用判定定理关键是结合形条件在面内寻找两相交直线别行于另一面.例6如面PAC⊥面ABC△ABC是AC斜边的等腰直角角形EFO别PAPBAC的中点AC16PAPC10.(1)设G是OC的中点证明FG∥面BOE(2)证明在△ABO内在一点M使FM⊥面BOE.证明(1)如连接OP点O坐标原点OBOCOP所在直线x轴y轴z轴建立空间直角坐标系Oxyz则O(0,0,0)A(08,0)B(8,0,0)C(0,8,0)P(0,0,6)E(04,3)F(4,0,3)方法技1用向法来证明行垂直避免了繁杂的推理论证而直接计算就行了把几何问题数尤是方体长方体直四棱柱中相关问题证明用向法更简捷但是向法要求计算必须准确无误2利用向法的关键是确求面的法向赋值时注意灵活性注意(0,0,0)能作法向.考点七利用空间向求角1向法求异面直线所成的角若异面直线ab的方向向别ab异面直线所成的角θ则cosθ|cosab||a·b||a||b|.2向法求线面所成的角求出面的法向n直线的方向向a设线面所成的角θ则sinθ|cosna||n·a||n||a|.3向法求二面角求出二面角αlβ的两个半面αβ的法向n1n2若二面角αlβ所成的角θ锐角则cosθ|cosn1n2||n1·n2||n1||n2|若二面角αlβ所成的角θ钝角则cosθ|cosn1n2||n1·n2||n1||n2|.例7如在四棱锥PABCD中PA⊥面ABCD面ABCD是菱形AB2∠BAD60°.(1)求证BD⊥面PAC(2)若PAAB求PBAC所成角的余弦值(3)面PBC面PDC垂直时求PA的长(3)由(2)知(130)设P(03t)(t0)则(13t)设面PBC的一个法向m(xyz)考点利用空间向解决探索性问题利用空间向解决探索性问题它无需进行复杂繁难的作论证推理只须通过坐标算进行判断在解题过程中往往把“是否在”问题转“点的坐标是否有解是否有规定范围的解”等使问题的解决更简单有效善于用一方法例8如在棱锥PABC中ABACDBC的中点PO⊥面ABC垂足O落在线段AD已知BC8PO4AO3OD2.(1)证明AP⊥BC(2)在线段AP是否在点M使得二面角AMCB直二面角若在求出AM的长若在请说明理由解(1)证明如O原点射线OPz轴的半轴建立空间直角坐标系Oxyz.即x10z123λ44λy1取n1(0,123λ44λ)由·n20·n20即3y24z204x25y20得x254y2z234y2取n2(5,43)由n1·n20得43·23λ44λ0解得λ25故AM3.综所述在点M符合题意AM3.难点探究难点一空间几何体的表面和体例11一个空间几何体的视如所示则该几何体的表面()A48B32817C48817D80(2)某几何体的视如所示则该几何体的体()A92π12B92π18C9π42D36π18答案1C(2)B解析(1)由视知本题所给的是一个面等腰梯形的放倒的直四棱柱(如所示)所该直四棱柱的表面S2×12×(24)×44×42×42×116×448817.(2)由视得个几何体是由面是一个直径3的球面是一个长宽都3高2的长方体所构成的几何体则体VV1V243×π×3233×3×292π18故选B.难点二球多面体例2已知球的直径SC4AB是该球球面的两点AB3∠ASC∠BSC30°则棱锥SABC的体()A33B23C.3D1解题规律技1真实形中和两坐标轴行的线段在直中然和两坐标轴行在真实形中x轴行的线段在直中长度变在真实形中和y轴行的线段在直中变原来的一半种画法蕴含着一个一般的规律在斜二测画法中真实形的面和直的面之比是22.2空间几何体的面有侧面和表面之表面就是全面是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面在计算时要注意区“是侧面是表面”多面体的表面就是所有面的面之和旋转体的表面除了球之外都是侧面和面面之和3实际问题中的几何体往往是单纯的柱锥球往往是由柱锥球或一部成的合体解决类合体体的基本方法就是“解”将合体“解成若部部是柱锥球或一个部别计算体”然后根据合体的结构将整个的体转些“部体”的和或差历届高考真题2012高考试题一选择题1.2012高考真题新课标理7如格纸小方形的边长1粗线画出的是某几何体的视则几何体的体()A6()B9()C12()D182.2012高考真题浙江理10已知矩形ABCDAB=1BC=2将△沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折在翻折过程中A.在某个位置使得直线AC直线BD垂直.B.在某个位置使得直线AB直线CD垂直.C.在某个位置使得直线AD直线BC垂直.D.对任意位置对直线“ACBD”“ABCD”“ADBC”均垂直答案C解析最简单的方法是取一长方形手按照要求进行翻着察在翻着过程即知选项C是确的3.2012高考真题新课标理11已知棱锥SABC−的所有顶点都在球O的求面ABC∆是边长1的角形SC球O的直径且2SC=则棱锥的体()A26()B36()C23()D224.2012高考真题四川理6列命题确的是A若两条直线和同一个面所成的角相等则两条直线行B若一个面内有个点到另一个面的距离相等则两个面行C若一条直线行于两个相交面则条直线两个面的交线行D若两个面都垂直于第个面则两个面行5.2012高考真题四川理10如半径R的半球O的面圆O在面α内过点O作面α的垂线交半球面于点A过圆O