9类比在数学教学中的应用(高级中学陈德山)

1类比在数学教学中的应用潮州市高级中学陈德山类比，这个词来源于希腊文“analogia”原意为比例，后来引申为某种类似的事物。类比推理，就是由两类对象具有某些相同或类似的特征，并且其中一类对象还具有另外的某些特征，推测出另一类对象也具有这些与其相同或类似特征的一种推理方法。在新课标中,类比推理作为合情推理的一种方式被逐渐引入到高中教学中来。数学上的类比是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类未知的对象上去的一种合情推理．它能够解决一些看似复杂困难的问题．从迁移过程看，有些类比十分明显、直接，比较简单，而有些类比需建立在抽象分析的基础上才能实现。利用类比来启发学生进行思维活动，就是启发学生把要研究的新问题和与之类似的原有知识、方法进行比较，使学生通过联想，获得解决问题的思路和方法，或建立新的数学结构。它既是一种重要的数学思想方法，也是数学教学中常用的一种教学手段。下面就类比在中学数学教学中的应用作一探讨。一、用类比引入，调动思维，温故引新创设情境，激趣引思，是数学新课程教学中导入新课的基本思路，而通过类比导入新课或引入新的概念与知识则是其中的一种较为常见的方式.例如在《等比数列》的教学中，可先回顾等差的概念及相关知识，接着提出下列问题：（1）什么样的数列是等差数列？（2）你能由此类比猜想什么是等比数列吗？（3）请举出一两个例子，试说出等比数列的定义。这样的概念引入过程，学生参与程度很强，在几乎没有任何揭示情况下，让学生自己动脑、动手去研究。这种方法不仅在于训练和培养学生的类比思想，也可以进一步培养学生分析问题和解决问题的能力。这样通过新旧概念的类比联系进行教学，不仅能做到通俗易懂、降低学生理解抛物线概念的难度，而且强化了学生观察类比的能力。象这样引导学生运用类比方法,利用已有知识、经验探索并获得新的数学知识，对于学生来说是一个“再发现”的过程.这不仅使新授课的课题与新的概念的出现不会让学生感到突然，反而让学生觉得这样的学习与探究是那么的自然、必要与合理，从而达到引发学生的主动思考、激发其学习兴趣的目的.从而使能力的训练和素质的培养真正落到实处。二、类比转化，更有助深入理解吸收在中学数学课本不难看到：无论是教学内容，还是蕴涵于知识之中的研究方法有许多是相似或相近的，这就为我们运用类比进行教学创造了条件.例如：指数函数与对数函数的研究方法，等差数列与等比数列的概念与性质，平面向量与空间向量的有关内容等等，对于这样一些具有相似、并列关系的教学素材，通过恰当的设计，运用类比的方法，往往能实现知识、方法的正迁移，不仅可节省教学时间，有利于学生接受新知识，而且可以帮助学生沟通知识间的联系，避免了本质属性相近的数学知识孤立的存在于学生的头脑中，使学生将所学知识条理化、系统化，形成知识网络，逐步构建良好的认知结构，从整体上掌握知识.数学概念是构成数学知识的基础，概念教学在整个数学教学中起着举足轻重的作用.对于接触数学时间不长的学生来说，数学中有一些概念还是难以理解和接受的,2倘若在教学中,我们有目的、有计划地科学设计相应的教学措施与环节来唤起与联系学生已有的经验，将新旧知识进行类比分析,将会使学生接受起来较为容易，理解也会更加深刻.例如：对数的概念及符号，对学生尤其是高一新生，是一个难点，教学中若能类比平方根与立方根的概念与符号，学生就会感到比较容易理解，引入相应的符号表示也很自然.再如：二面角的概念，可先通过模型帮助学生形成感性认识，再类比平面几何中角的概念，抽象概括出二面角的定义，紧接着引导学生联想异面直线所成的角、斜线与平面所成角的概念，猜想出可用“顶点在二面角的棱上，两边分别在两个半平面内的角”表示二面角的大小，进而形成“二面角的平面角”的概念.最后还可考虑以思考交流的方式探究二面角的有关性质.象这样通过类比进行概念教学，既可突破教学难点，又可使类比思维方法潜移默化地渗透于教学之中.在概念、公式、性质的教学中进行恰当的类比，不仅可加深学生对所学概念的认识与理解，而且使公式、性质、法则的记忆变得自然和简洁，应用起来也会更加得心应手.例如：将复数代数式的加、减、乘法运算法则与多项式的加、减、乘法运算法则进行类比，将复数代数式的除法运算法则与无理数运算中的分母有理化进行类比.有了这样的类比，老师无须多讲，学生也无须多练，便能实现数学知识、方法与经验的正迁移，有效促进学生快速、正确地掌握复数代数式的加、减、乘、除运算的法则，形成初步的运算技能，从而提高了教与学的效率.三、发挥类比联想，寻找更合适解法著名数学家波利亚说：“类比是一个伟大的引路人”，康德也指出：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进”.这就是说在数学解题过程中，当我们的思维遇到障碍时，若能够充分利用知识内容、结构特征等方面的相似之处，恰当地进行联想与类比，将已学过的知识或已掌握的解题方法迁移过来，往往会产生“茅塞顿开”之感，取得“他山之石，可以攻玉”之效，从而获得解题的思路与方法.例1、求函数2225413yxxxx的最小值分析：对于这道求函数最值的问题，我们可以利用判别式的方法或其它一些代数方法进行求解，但是它们的计算量都较大。当我们观察到题目中只含有二次根式，并且在二次根式中含有二次式，在高中阶段我们所学的公式中，联想到有些含有根式的函数最值常运用平面上两点间的距离公式转化为几何最值问题，由此可考虑配方得到如下解法：解：2225413yxxxx=2222(1)(02)(2)(03)xx由两点间的距离公式得几何意义为点P（X，O）到点A（1，2）与点B（2，3）距离之和的最小值，利用类比转化，根据几何定理，|PA|+|PB|的最小值为A关于X轴对称点A′（1，2）与点B的距离，3例2在棱长为1的正方体1111DCBAABCD中，E为1BB的中点，P是截面11DABC上的动点，则PEPA1的最小值是_________.分析：本题的特征很容易使人联想到平面几何中，求直线同侧两点与直线上的动点距离之和的最小值问题，通过类比不难得到如下解法：如图，点1A关于截面11DABC的对称点为D∵DPPA1∴231DEPEDPPEPA故PEPA1的最小值为23象这样将立体几何问题类比到平面几何中的相关问题，进而获得解题思路与方法的例子比比皆是，事实上立体几何中许多性质、公式及其证明都可在类比平面几何的相关性质、公式及其推导方法的基础上获得.例3（1）解方程：03423133xxx（2）求证：N2003)20031()20031(20022002分析：同学们一看肯定就会问，为什么例3包括了两道题目，而且，这两道题目表面上似乎没有什么联系，可谓是风马牛不相及，但是，同学们还是先看一看这两道题目的解题过程吧。解（1）：观察到题目中34231xxx023123133xxxx令01313133tttttx设一个函数tttf3)(，则1313)13(3tttf所以，0)13()(tftf又由于这个函数是一个奇函数，)()(tftf所以，)()()13(tftftf由于，函数tttf3)(是在整个定义域区间内单调的函数，所以434113xtttD1A1ADB1C1CBEP4所以原方程的解为43x解（2）：设一个函数20022002)1()1()(xxxf，通过判断可以知道，这个函数是一个奇函数。所以函数的展开式中一定只含有x的奇数次项，那么在函数xxxxg20022002)1)1()(（的展开式中一定只含有x的偶数次项，所以将2003)20031()20031(20022002展开后，在2003上一定就只有偶数次，也就是说，在展开式中将不再含有有关2003的因式，而是一些整数的乘加运算，综上所述，我们可以推断出结论：N2003)20031()20031(20022002以上就是这两道题目的解题过程，通过观察我们不难发现，这两道表面上似乎没有什么联系的题目，在解题过程中，存在着很多共同之处。首先，两道题目都设了一个函数，其次，对所设的函数的奇偶性题目都进行了讨论，并且通过函数的奇偶性，我们解决了题目。如果我们在解（1）时，同学们还沿用常规方法（等式两边开立方），那么题目的运算量可想而知；如果，我们在解（2）时，采用二项式定理将原式展开，那么它的运算量也是不小的。可见，在解题过程中，合理的运用我们所学的知识进行类比，有时往往能使我们一筹莫展或运算量很大的题目柳暗花明，这就叫巧解。类比在探究结论、发现真理中的“催化剂”的作用.因此在数学教学过程中，使学生逐步领会并能运用这种独特的思维方法，必将有利于提高学生的探究能力，增强其创新意识，这在实施新课程，大力提倡创新教育的今天显得尤为重要.四、拓展类比，有利转变学习方式新课改中要求：“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识”.创设类比情景，运用类比方法，科学开展类比教学，培养类比能力，正是丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法，体现新课程理念的重要途径与策略之一.例如：在学习了等差数列与等比数列后，就有学生提出：有没有等和数列与等积数列？它们又有哪些性质与特点?在学习了椭圆与双曲线之后，又有学生提出：平面上到两定点的距离之积、之商为定值的点的轨迹分别是什么？空间中与两定点的距离之和或差为定值的点的轨迹方程又是怎样的？此时，若教师再适当地予以鼓励与运用类比的方法与思想进行巧妙引导的话，就会点燃学生自主学习与探究的激情.例4已知动点P到定点)0,1(F的距离与到定直线4:xl的距离之比为21.（1）求动点P的轨迹方程；（2）设直线l与x轴的交点为M，过F的动直线交（Ⅰ）中的轨迹于BA,两点，试探究AMF与BMF的关系，并证明你的结论.5本题的第（2）问是要证明在椭圆13422yx中AMF=BMF，这里AB是椭圆的焦点弦，M是该焦点对应的准线与坐标轴的交点.有学生在做完这道题后提出：该结论对于任意的椭圆都成立吗？双曲线与抛物线的焦点弦是否也具有这样的性质？并发动部分同学一起探究，最终，他们不仅圆满地将本题的结论推广到双曲线与抛物线，而且在用定义证明的过程中，发现了AMF与焦点弦所在直线的倾斜角之间的关系，这就是sintaneAMF.反思教学过程，进行类比教学时，不但要多找对象的相同点，而且应找本质的相同点，既要注意问题的共性，又要注意问题的个性．对学生在类比过程产生的想法，能确定正误的要及时评价，不能确定的要给予方法的指导，要求学生重新去研究．同时也要善待错误、用好错误，要反思错误、变错为宝，提高思维的深刻性．总之，在我们平时的学习与生活中处处充满着类比，可以说，类比是探索问题、解决问题与发现新结果的一种卓有成效的思维方法。在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造数学新分支的重要途径。学生在数学的学习中应该学会运用这种独特的思维方法，教师在教学过程中则应努力培养学生运用类比方法进行合情推理的能力，使他们的思维更具创造力。类比思维方法的运用能培养学生的自主学习能力，有利于创造性思维能力的培养，有利于学习效率的提高．【参考文献】[1]严士健，张奠宙，王尚志.普通高中数学课程标准(实验)解读[M].南京:江苏教育出版社,2004[2]刘绍学主编.普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2[M].人民教育出版社,2005.[3]王成熙.类比学习探析[J].桂林师范高等专科学校学报第16卷第2期.[4]汪建华，类比教学法在中学信息技术课程教学中的应用研究附：工作单位：潮州市高级中学作者：陈德山MABFOxy6性别：男出生年月：1980年6月职务职称：中学数学一级教师通讯地址：潮州市潮州大道中段潮州市高级中学邮编：521000联系电话：[phone]电子邮箱：sum52