211椭圆及其标准方程(一)教学设计

12.1.1椭圆及其标准方程（一）一、教材分析本节课是新课标人教版选修1-1第二章《圆锥曲线方程》的第一节课，主要学习椭圆的定义和标准方程.它是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识.这一节课是在高一学完圆及其标准方程的基础上，将研究曲线的方法拓展到椭圆，又是继续学习椭圆的几何性质的基础；同时还为后面学习双曲线和抛物线作好准备.因此本节内容起到一个承上启下的重要作用.二、学生分析介于所教的文科班的生源情况较差，在初中阶段就带了帐的学生，学习高中数学的能力我们都非常清楚是怎样一个情况.在此就以这样的学生作为背景来设计这堂课，使之成为一节很有必要的研究性课.由于学生基础差、底子薄，数学运算能力，分析问题、解决问题的能力，逻辑推理能力，思维能力都比较弱，所以在设计课的时候往往要多作铺垫，扫清他们学习上的障碍，保护他们学习的积极性，增强学习的主动性.三、教学目标分析根据教学大纲的要求，教材的具体内容和学生的认知心理，确定教学目标如下：1、知识与技能目标：理解椭圆的定义及有关概念；明确椭圆的标准方程的形式，能区分椭圆的焦点在X轴与Y轴上的不同；掌握椭圆的标准方程的概念，能够根据给定的条件求椭圆的标准方程.2、过程与方法：通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力，注重掌握运用解析法研究几何的一般方法，注重动手能力、探索能力的培养。3、情感态度与价值观：通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神，同时培养学生运动、变化和对立统一的观点.以“嫦娥1号”月球探测卫星的运动轨迹的视频演示，引入新课，激发学生学习数学的兴趣，增强学生的数学应用意识、创新意识，扩展学生的数学视野，并让学生受到爱国主义思想的教育，使之逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值.四、学情分析与学法指导学情分析：在学生已学习了圆的定义及其标准方程和掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念之后，学习椭圆定义及其标准方程，符合学生的认知规律，学生有能力学好本节内容.学法指导：改变学生的学习方式是高中课改追求的基本理念。遵循以学生为主体，教师为主导，发展为主旨的现代教育原则。本设计笔者采用了以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题；以学生主动探索、积极参与、共同交流与协作为主体，在教师的引导下，学生“跳一跳”就能摘得果实；于问题的分析和解决中实现知识的2建构和发展.通过不断探究、发现，让学生的学习过程成为心灵愉悦的主动过程，使师生的生命力在课堂上得到充分的发挥.五、教学重点、难点及其解决办法教学重点：椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程.解决办法：采用了循序渐进、逐层推进的方法.教学难点：椭圆标准方程的建立和推导.解决办法：为突破难点，在设计中通过课堂精心设问.①教师问：化简含有根号的式子时，我们通常有什么方法？②教师问：对于本式是直接平方好呢还是恰当整理后再平方？六、教学方法与教学手段教学方法：为了使学生更主动地参加到课堂教学中，培养他们的能力，发展他们的“最近发展区”，以及为了实现本课的教学目标，本课采用探究式教学法即教师通过“问题诱导→实验探究→探索结果”，引导学生“直接观察——归纳抽象——总结规律”的一种研究性教学方法.使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力.教学手段：多媒体辅助教学、动手实验.教学准备:课件（包括PPT课件、视频、几何画板课件）、准备几副画椭圆工具（每副包括一块木板、两颗图钉、一根细绳，一张白纸）.七、教学过程(一)创设情景，提出课题提出问题:2007年10月24日是全中国人感到骄傲和自豪的日子,这一天在中国发生了什么震惊世人的事件？中国人终于实现了什么梦想？请问嫦娥1号月球探测卫星的运行轨道是什么？创设情景:情境1:视频演示我国2007年10月24日发射嫦娥1号探月卫星运行的轨迹,并用几何画板演示行星运行轨迹.情境2:生活中,你见过哪些类似椭圆的图形或物体?(教师用多媒体演示)学生思考：椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？（二）实验探究，形成概念1、动手实验：学生分组动手画出椭圆.实验探究：(1)固定一条细绳的两端,用笔尖将细绳拉紧并运动,在纸上你得到了怎样的图形?(2)如果调整1F、2F的相对位置,细绳的长度不变,猜想你的椭圆会发生怎样的变化?思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹？2、引导学生概括椭圆定义椭圆定义：平面内与两个定点1F、2F距离的和等于常数（大于21FF）的点的轨迹叫椭圆.教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距.M2F1F3深化概念:(通过flash动态演示加深学生对椭圆定义的理解)注：1、平面内.2、若||||||2121FFPFPF，则点P的轨迹为椭圆;若|FF||PF||PF|2121，则点P的轨迹为线段;若|FF||PF||PF|2121,则点P的轨迹不存在.思考：焦点为1F、2F椭圆上任一点M，有什么性质？令椭圆上任一点M，则有)22(22121FFcaaMFMF（三）研讨探究，推导方程1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程:(1)求曲线方程的一般步骤是什么？(2)建立坐标系的一般原则有哪些？学生围绕两问思考、讨论可得：求曲线方程的一般步骤——建系设点、写出点集、列出方程、化简方程、证明（可省略）；建系的一般原则为：使已知点的坐标和曲线的方程尽可能简单，即原点取在定点或定线段的中点，坐标轴取在定直线上或图形的对称轴上，充分利用图形的对称性.[设置依据]让学生明确思维的目的，通过复习旧知，为下一步学习搭桥铺路.2、研讨探究问题：如图已知焦点为1F、2F的椭圆，且21FF=2c,对椭圆上任一点M，有aMFMF221，尝试推导椭圆的方程。思考:怎样建立坐标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？通过前面知识的回忆，学生思考、相互交流，很容易选定下列两种方案，由各组学生自己完成设点、列式、化简.方案一方案二(1)建系设点：以两定点1F、2F的连线为x轴，以线段1F、2F的垂直平分线为y轴，M2F1Fxy1F2FMOxy1F2FMO4建立坐标系，如图1设M(x，y)为椭圆上任意一点，|F1、F2|=2c(c0)，则有F1（－c、0）、F2(c、0)，又设M与F1、M与F2的距离的和等于常数)0(2aa.[设置依据]因为正确选取坐标系是解析几何解题的基本技巧之一，故设计目的是为了着重培养学生这方面的能力.(2)写出点集：让学生利用两点的距离公式，根据椭圆定义列出：aMFMFMP221(3)列出方程：aycxycx2)()(2222到此为止，学生以为椭圆的方程已求出，此时教师可以指出:为了更进一步利用方程探讨椭圆的其他性质需要尽量简化方程形式，使数量关系更加明朗化.(4)化简方程：学生对含有两个根式之和的等式进行化简有一定困难，教师可采用以下方法突破难点：首先让学生明确，含根号的等式化简的目的就是要去掉根号，变无理式为有理式；其次复习含有一个根式的等式的化简方法——将根式放在等式的一边，其它项移到等式另一边，两边平方可去掉根号；有了这一基础，可启发学生，化简含两个根式之和的等式，只要将两个根式分别放在等号两边，其中一边只含一个根式，平方一次后即可转化为只含一个根式的化简问题.教师引导学生化简，得到)()(22222222caayaxca，指出：此方程形式还不够简捷，还有变形的必要.思考：观察图形能找出图形中a、c所表示的线段及其关系吗？先简化.0,,2222cacaca令),0(222bbca则方程变为222222bayaxb，联想到直线截距式方程，两边同时除以22ba得)0(12222babyax教师指出方程)0(12222babyax叫做椭圆的标准方程.此时椭圆的焦点在x轴上，)0,(1cF、),(2ocF，这里222bac.(5)证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点，一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，此步可以省略.如有特殊情况，应给出说明.5另外步骤(2)也可省略，直接列出曲线的方程.[设置依据]再一次体现解析几何的基本思想，即用代数方法研究几何问题.在解决解析几何问题中，熟练运用代数变形技巧是十分重要的，学生常因运算能力不强而功亏一篑，故在此，教师不失时机地加强了运算技能的训练.按方案一建立坐标系，师生研讨探究得到椭圆标准方程:)0(12222babyax，其中)0(222bcab；如图２,如果焦点F1、F2在y轴上，并且点O与线段F1、F2的中点重合，a、b、c的意义同上，椭圆的方程形式又如何呢？学生相互讨论、交流，合情猜想，动手验证可得：)0(12222babyax指出：方程)0(12222babxay叫做椭圆的标准方程.此时椭圆的焦点在y轴上，焦点是),0(1cF、),,0(2cF，这里222bac选定方案二建立坐标系，由学生完成方程化简过程，可得出22ay+22bx=1，同样也有)0(222bbca教师指出：我们所得的两个方程22ax+22by=1和22ay+22bx=1（0ba）都是椭圆的标准方程。（建系过程通过几何画板动态演示）[设置依据]该问的设置，一方面是为了得出焦点在y轴上的椭圆的标准方程；另一方面通过学生的猜想，充分发挥学生的直觉思维和数学悟性.调动了学生学习的主动性和积极性，通过动手验证，培养了学生严谨的学习作风和类比的能力.（四）归纳概括，方程特征1、观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴；（2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；6（3）椭圆标准方程中三个参数cba,,关系：222cab)0(ba；（4）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定；（5）求椭圆标准方程时，可运用待定系数法求出ba,的值.为了让学生加深对椭圆的两种标准方程的理解，下面举例，巩固练习.（五）例题研讨，变式精析例题：已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于102，求它的标准方程.变式：已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点)23,25(，求它的标准方程.随堂练习：求下列椭圆的焦点的坐标.11625)1(22yx1169144)2(22yx11)3(2222mymx（六）小结提问1、本节课学习的主要知识是什么?你学会了哪些数学思想与方法?椭圆的定义2、椭圆的标准方程标准方程22ax+22by=1)0(ba22ay+22bx=1)0(ba图形cba,,关系222cab222cab焦点坐标)0,(c),0(c焦点位置在x轴上在y轴上（七）布置作业：1、课本p46A组1.2.（1）、（2）、（3）.2、探究椭圆标准方程的其它推导方法.3、思考题：已知直线l经过椭圆C的一个焦点1F,且与椭圆C交于A、B两点，求2ABF的周长.xy1F2FMOxy1F2FMO7（八）板书设计:2.1.1椭圆及其标准方程（一）1．椭圆的定义2．椭圆的标准方程（1）标准方程的推导（2）标准方程的比较例．学生练习