221一次函数的性质与图像教案

1/3§2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象【学习要求】1.进一步认识一次函数，会借助图象分析其性质，理解其定义；2.掌握利用两个适当的点画出一次函数的图象；3.提高探索新问题的能力，动手能力及现代化操作技术能力．【学法指导】通过由一次函数的图象探究其性质的过程，提高探索新问题的能力；培养对分类讨论及数形结合的思想方法的应用.填一填：知识要点、记下疑难点1.一次函数的概念：函数y＝kx＋b(k≠0)叫做一次函数，它的定义域为R，值域为R.2.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是直线，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距.一次函数又叫做线性函数.3.一次函数的性质：(1)函数值的改变量Δy＝y2－y1与自变量的改变量Δx＝x2－x1的比值等于直线的斜率k.(2)当k0时，一次函数是增函数；当k0时，一次函数是减函数.(3)当b＝0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数．(4)直线y＝kx＋b与x轴的交点为－bk，0，与y轴的交点为(0，b).研一研：问题探究、课堂更高效探究点一一次函数的概念问题1在初中我们学过一次函数，那么一次函数是如何定义的？定义域和值域又是什么？答：函数y＝kx＋b(k≠0)叫做一次函数，它的定义域为R，值域为R.问题2一次函数的图象是什么，表达式中的k，b的几何意义又是什么？答：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是直线，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距．一次函数又叫做线性函数．例1设函数y＝(m－3)xm2－6m＋9＋m－2：(1)m为何值时，它是一次函数？(2)在(1)的条件下判断函数的增减性．解：(1)由一次函数的表达式知，m－3≠0，m2－6m＋9＝1.解得m＝2或m＝4.(2)当m＝2时，m－3＝2－3＝－10，所以对应的函数是减函数；当m＝4时，m－3＝10，所以对应的函数是增函数．小结：只有当k≠0时，函数y＝kx＋b才是一次函数，若已知y＝kx＋b是一次函数，则隐含着条件k≠0.要判断一个多项式函数是不是一次函数只需要两个条件：未知数x的最高次为1次，x的系数不为0.跟踪训练1函数y＝2mx＋3－m是正比例函数，则m＝_____.解析：由正比例函数的定义可知，2m≠0，且3－m＝0，所以m＝3.探究点二一次函数的性质问题1一次函数的函数值的改变量与自变量的改变量的比值与一次函数y＝kx＋b(k≠0)中的哪个量相等？请说明原因？答：函数值的改变量Δy＝y2－y1与自变量的改变量Δx＝x2－x1的比值等于直线的斜率k.在直线y＝kx＋b(k≠0)上任取两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b，两式相减，得y2－y1＝k(x2－x1)，即ΔyΔx＝y2－y1x2－x1＝k或Δy＝kΔx(x2≠x1)．问题2斜率k的符号与一次函数单调性有怎样的关系？答：当k0时，一次函数是增函数；当k0时，一次函数是减函数．问题3在一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，b的取值对函数的奇偶性有怎样的影响？答：当b＝0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数．问题4一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与坐标轴的交点坐标是怎样的？答：直线y＝kx＋b与x轴的交点为－bk，0，与y轴的交点为(0，b)．例2已知一次函数y＝3x＋12.求：(1)一次函数y＝3x＋12的图象与两条坐标轴交点的坐标；(2)x取何值时，y0?(3)当y的取值限定在(－6,6)内时，x允许的取值范围．解：(1)当y＝0时，x＝－4；当x＝0时，y＝12.所以一次函数y＝3x＋12的图象与两条坐标轴交点坐标分别为(－4,0)、(0,12)．(2)由3x＋120，得x－4.(3)由－63x＋126，得－6x－2.小结：一次函数y＝kx＋b(k≠0)与一元一次方程及一元一次不等式是密切联系的，一次函数与x轴交点的横坐标2/3即为相应的一元一次方程的解，一次函数图象在x轴下面的部分对应的x的范围就是不等式kx＋b0的解集．跟踪训练2已知一次函数y＝2x＋1，(1)当y≤3时，求x的范围；(2)当y∈[－3,3]时，求x的范围；(3)求图象与两坐标轴围成的三角形的面积．解：(1)由题意知，2x＋1≤3，解之，得x≤1；(2)因y∈[－3,3]，所以－3≤2x＋1≤3，解之，得－2≤x≤1；(3)一次函数y＝2x＋1与两个坐标轴的交点分别为－12，0、(0,1)，所以图象与两坐标轴围成的三角形的面积S＝12×12×1＝14.探究点三一次函数的应用例3.对于每个实数x，设f(x)取y＝4x＋1，y＝x＋2，y＝－2x＋4三个函数中的最小值，用分段函数写出f(x)的解析式，并求出f(x)的最大值．解：分别解出三条直线的交点，y＝4x＋1，y＝x＋2，得A13，73.y＝4x＋1，y＝－2x＋4，得B12，3.y＝x＋2，y＝－2x＋4，得C23，83.观察函数图象，当x≤13时，直线y＝4x＋1的图象在最下面，所以f(x)＝4x＋1，同理，当13x≤23时，f(x)＝x＋2，当x23时，f(x)＝－2x＋4.所以f(x)＝4x＋1，x≤13，x＋2，13x≤23，－2x＋4，x23.由图象观察可知，当x＝23时，f(x)有最大值，最大值为83.小结：在本例中，由于f(x)取y＝4x＋1，y＝x＋2，y＝－2x＋4三个函数中的最小值，要判断三个函数中哪一个最小，只有在同一坐标系内画出三条直线的图象，观察图象，在各段线段中处在最下面的几段线段组成的图象就是f(x)的图象，观察f(x)图象的最高点的纵坐标即为f(x)的最大值．跟踪训练3对于每个实数x，设f(x)取y＝3x＋5，y＝x＋5，y＝－2x＋8三个函数中的最大值，用分段函数写出f(x)的解析式，并求出f(x)的最小值．解：在同一坐标系内作出y＝3x＋5，y＝x＋5，y＝－2x＋8的图象(如图所示)，它们的交点分别为A、B、C.解方程组y＝3x＋5，y＝－2x＋8，得C35，345.过C点作y轴的平行线x＝35，由图可知，在直线x＝35左边，y＝－2x＋8的图象在最上面，即当x≤35时，f(x)＝－2x＋8；在直线x＝35右边，y＝3x＋5的图象在最上面，即当x35时，f(x)＝3x＋5，因此，f(x)＝－2x＋8，x≤35，3x＋5，x35.观察f(x)的图象可知，f(x)min＝345.3/3练一练：课堂检测、目标达成落实处1.过点(3，m)、(m，－4)的一次函数的斜率为25，则实数m的值是()A．2B．－4C．0D．－2解析：由ΔyΔx＝－4－mm－3＝25，得m＝－2.2.函数y＝kx－1与y＝－kx在同一坐标系中的大致图象可能是下图中的()解析：在A中，直线是上升的，知k0，由曲线的位置知－k0，即k0，矛盾；在B中曲线的位置正好使k0，故选B.3.对于函数y＝5x＋6，y的值随x的值减小而________．解析：由于一次函数的斜率50，所以一次函数是增函数，所以y值随x的减小而减小．课堂小结：1.正比例函数y＝kx(k为常数，k≠0)的图象的画法：过原点与点(1，k)的直线即所求的图象．2.一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)图象的画法：在y轴上取点(0，b)，在x轴上取点－bk，0，过这两点的直线即为所求的图象．3.正比例函数y＝kx(k为常数，k≠0)与一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的单调性为：当k0时，是增函数；当k0时，是减函数.