第27届北京市高中力学竞赛决赛试题答案

第27届北京市高中力学竞赛决赛试题第1页共8页第27届北京市高中力学竞赛决赛试题答案（景山学校杯）一、填空题1．B，B线受力是铁球重力与A线张力之和。A，A线绷紧时铁球有向上速度，铁球的惯性使A线形变大。2．)2cos(12mgkkggm，3．0，人对地作用向后的力-F。F，人对地面不做功。4．L8335．0，，0，轻杆两端不能受垂直杆的力。（说明：反证法，如果轻杆受这样的力，则将造成杆的平动加速度无限大，或转动加速度无限大）。6.fLSgm2，，SmgL1f（说明：动量定理tsmtF，2sF，fLLv21）。二.计算题7.解：设无限远处的引力势能0Ep。地球未塌缩时，设物体m脱离地球的速度，即第二宇宙速度是v。则物体m在地球表面的引力势能RMmGpE，势能增量RMmGpE。（G为引力恒量，M为地球质量）物体要脱离地球到无限远处，其动能kE至少应等于pE，因此第27届北京市高中力学竞赛决赛试题第2页共8页RMmGmv221（1）同理，地球塌缩后，物体m在地球表面的引力势能sprMmGE，无势能增量sprMmGE。物体要脱离地球到无限远处，其动能kE至少应等于pE，因此s2m(2v)21rMmG（2）联立（1）（2）得66s106.14104.64Rrm8.解：假设汽车刹车，车受力如图所示则有：021mgNN（1）cmaff21（2）0)(2121hfflLNlN（3）aclhmgf1f2N1N2CL第27届北京市高中力学竞赛决赛试题第3页共8页（1）代入（2）得：021hmalLNlNc（4）当21NN时，（4）式变为02hmaNLNlc得mhLlNac-2与（1）式联立得hLlgac2/-讨论：当2Ll时，0ac，即与假设方向相同，汽车减速运动；当2Ll时，0ac，即与假设方向相反，汽车加速运动。9.解：（1）取管道为参考系，两小球自小孔穿出后将沿切线方向运动，因此sinRl小球从A1、A2处到P1、P2处的过程中水平动量守恒022(cos)mmumu机械能守恒222201111(2)2(sin)2(cos)2222mmummu可解得小球相对环的速度022sin环的速度2022(2sincos)(2)2sinu小球从穿出小孔到相遇的时间第27届北京市高中力学竞赛决赛试题第4页共8页20cot2sincotRtR管道在平面上移动的路程221sincot2cot2sutR10.解：取物体为参考系，滑块受三个力：mg，FN和Mma，设滑块相对M的加速度是a，则对m：sincosMmgmamasincosNMFmamg对M：sinNMFMa由060，可解得23()43MmgaMm所以12(43)3()lMmltaMmg下到底端时，滑块因转弯和物体发生一个比较猛烈的作用，此过程中水平动量守恒．设转弯结束后滑块和物体的速度分别为和，那么mM2211sin22mglmM可求出，和，相对速度3()MmglM水平段的时间23()lMltMmg第27届北京市高中力学竞赛决赛试题第5页共8页一个来回的总时间12(43)42423()3()MmlMltttMmgMmg11.解：如果小球的水平速度比较大，它与平板的第一次碰撞正好发生在平板的边缘Q处，这时0u的值便是满足题中条件的最大值；如果小球的水平速度0u较小，在它与平板发生第一次碰撞后再次接近平板时，刚好从平板的边缘Q处越过而不与平板接触，这时0u的值便是满足题中条件的最小值．设小球从台面水平抛出到与平板发生第一次碰撞经历的时间为1t，有2112hgt（1）若碰撞正好发生在Q处，则有01Lut（2）从（1）、（2）两式解得的0u值便是满足题中条件的最大值，即0max2guLh（3）代入有关数据得m/s71.0umax0（4）如果00maxuu，小球与平板的碰撞处将不在Q点．设小球第一次刚要与平板碰撞时在竖直方向的速度为1v，则有12ghv（5）以1v、1V分别表示碰撞结束时刻小球和平板沿竖直方向的速度，由第27届北京市高中力学竞赛决赛试题第6页共8页于碰撞时间极短，在碰撞过程中，小球和平板在竖直方向的动量守恒．设小球和平板的质量都是m，则有111mVmv=mv（6）因为碰撞是弹性的，且平板是光滑的，由能量守恒可得22222101101111122222mVmvmu=mvmu（7）解（5）、（6）两式，得10v（8）112Vgh=v（9）碰撞后，平板从其平衡位置以1V为初速度开始作简谐振动．取固定坐标，其原点O与平板处于平衡位置时板的上表面中点重合，x轴的方向竖直向下，若以小球和平板发生碰撞的时刻作为0t，则平板在t时刻离开平衡位置的位移PQcosxAt（10）式中2πT（11）A和是两个待定的常量，利用参考圆方法，在t时刻平板振动的速度PQsinAtv（12）因0t时，PQ0x．PQVv，由（9）、（11）、（12）式可求得22ghAT（13）π2（14）第27届北京市高中力学竞赛决赛试题第7页共8页把（13）、（14）式代入（10）式，得PQ22ππcos2π2ghxTtT（15）碰撞后，小球开始作平抛运动．如果第一次碰撞后，小球再经过时间2t与平板发生第二次碰撞且发生在Q处，则在发生第二次碰撞时，小球的x坐标为2B2212xtgt（16）平板的x坐标为PQ2222ππcos2π2ghxtTtT（17）在碰撞时，有B2PQ2xtxt（18）即2tT2cosT2gh2gt2122由（16）、（17）、（18）式，代入有关数据得2tcos41.44.90t222（19）查表得s771.0t2（20）如果第二次碰撞正好发生在平板的边缘Q处，则有012Lutt（21）由（1）、（20）和（21）式得s/m46.0ttLu210（22）第27届北京市高中力学竞赛决赛试题第8页共8页而满足题中要求的0u的最小值应大于（20）式给出的值．综合以上讨论，0u的取值范围是s/m71.0h2guttLs/m46.0021（23）