2014高考数学二轮复习名师知识点总结函数与方程及函数的应用

函数与方程及函数的应用1．函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．(2)函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．2．函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.考点一函数的零点例1(1)(2013·重庆)若abc，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内(2)函数f(x)＝lnx－x2＋2xx0，2x＋1x≤0，的零点个数是()A．0B．1C．2D．3答案(1)A(2)D解析(1)由于abc，所以f(a)＝0＋(a－b)(a－c)＋00，f(b)＝(b－c)(b－a)0，f(c)＝(c－a)(c－b)0.因此有f(a)·f(b)0，f(b)·f(c)0，又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.(2)依题意，当x0时，在同一个直角坐标系中分别作出y＝lnx和y＝x2－2x＝(x－1)2－1的图象，可知它们有两个交点；当x≤0时，作出y＝2x＋1的图象，可知它和x轴有一个交点．综合知，函数y＝f(x)有三个零点．(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．(2)提醒：函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．(1)(2012·天津)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()A．0B．1C．2D．3(2)已知函数f(x)＝ax＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数a、b满足2a＝3,3b＝2，则n＝________.答案(1)B(2)－1解析(1)先判断函数的单调性，再确定零点．因为f′(x)＝2xln2＋3x20，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上递增，且f(0)＝1＋0－2＝－10，f(1)＝2＋1－2＝10，所以有1个零点．(2)f(x)＝ax＋x－b的零点x0就是方程ax＝－x＋b的根．[来源:学+科+网Z+X+X+K]设y1＝ax，y2＝－x＋b，故x0就是两函数交点的横坐标，如图，当x＝－1时，y1＝1a＝log32y2＝1＋b＝1＋log32，∴－1x00，∴n＝－1.考点二与函数有关的自定义问题例2若对于定义在R上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x＋λ)＋λf(x)＝0对任意实数都成立，则称f(x)是一个“λ－伴随函数”．有下列关于“λ－伴随函数”的结论：①f(x)＝0是常数函数中唯一一个“λ－伴随函数”；②f(x)＝x是“λ－伴随函数”；③f(x)＝x2是“λ－伴随函数”；④“12－伴随函数”至少有一个零点．其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4先理解新定义“λ－伴随函数”的意义，然后对给出的函数逐一用定义检验，从而判断所给命题的正确性．答案A解析对于①，若f(x)＝c≠0，取λ＝－1，则f(x－1)－f(x)＝c－c＝0，即f(x)＝c≠0是一个“λ－伴随函数”，故①不正确．对于②，若f(x)＝x是一个“λ－伴随函数”，则(x＋λ)＋λx＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故②不正确．对于③，若f(x)＝x2是一个“λ－伴随函数”，则(x＋λ)2＋λx2＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故③不正确．对于④，若f(x)是“12－伴随函数”，则f(x＋12)＋12f(x)＝0，取x＝0，则f(12)＋12f(0)＝0，若f(0)，f(12)任意一个为0，函数f(x)有零点；若f(0)，f(12)均不为0，则f(0)，f(12)异号，由零点存在性定理，知f(x)在(0，12)内存在零点x0，所以④正确．故选A.函数的创新命题是高考命题的一个亮点，此类题型是用数学符号、文字叙述给出一个教材之外的新定义，如本题中的“λ－伴随函数”，要求在短时间内通过阅读、理解后，解决题目给出的问题．解决这类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从定义和题目中获取的新信息进行有效的整合，并转化为熟悉的知识加以解决，即检验f(x＋λ)＋λf(x)＝0对任意实数都成立．若平面直角坐标系内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数f(x)的图象上；②P，Q关于y轴对称，则称点对(P，Q)是函数f(x)的图象上的一个“镜像点对”(点对(P，Q)与点对(Q，P)看作同一个“镜像点对”)．已知函数f(x)＝cosπxx0，log3xx0，则f(x)的图象上的“镜像点对”有()A．1对B．2对C．3对D．4对答案C解析依题意，设点P(x0，y0)，Q(－x0，y0)(其中x00)，若点对(P，Q)是函数f(x)的图象上的一个“镜像点对”，则有y0＝log3x0，y0＝cosπ－x0＝cosπx0，所以log3x0＝cosπx0，即x0是方程log3x＝cosπx的根．在同一个直角坐标系中画出函数y＝log3x与y＝cosπx的图象，可知这两个图象共有3个交点，即函数f(x)的图象的“镜像点对”共有3对．故选C.考点三函数模型及其应用例3省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)＝|xx2＋1－a|＋2a＋23，x∈[0,24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈[0，12]，若用每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M(a)．(1)令t＝xx2＋1，x∈[0,24]，求t的取值范围；(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？(1)分x＝0和x≠0两种情况，当x≠0时变形使用基本不等式求解．(2)利用换元法把函数f(x)转化成g(t)＝|t－a|＋2a＋23，再把函数g(t)写成分段函数后求M(a)．解(1)当x＝0时，t＝0；当0x≤24时，x＋1x≥2(当x＝1时取等号)，∴t＝xx2＋1＝1x＋1x∈(0，12]，即t的取值范围是[0，12]．(2)当a∈[0，12]时，记g(t)＝|t－a|＋2a＋23，则g(t)＝－t＋3a＋23，0≤t≤a，t＋a＋23，at≤12.∵g(t)在[0，a]上单调递减，在(a，12]上单调递增，且g(0)＝3a＋23，g(12)＝a＋76，g(0)－g(12)＝2(a－14)．故M(a)＝g12，0≤a≤14，g0，14a≤12.即M(a)＝a＋76，0≤a≤14，3a＋23，14a≤12.当0≤a≤14时，M(a)＝a＋762显然成立；由3a＋23≤2，14a≤12，得14a≤49，[来源:Z*xx*k.Com]∴当且仅当0≤a≤49时，M(a)≤2.故当0≤a≤49时不超标，当49a≤12时超标．(1)解答函数应用题的关键将实际问题中的数量关系转化为函数模型，常见模型有：一次或二次函数模型；分式函数模型；指数式函数模型等．(2)对函数模型求最值的常用方法单调性法、基本不等式法及导数法．(3)本题中的函数与方程思想：①在求t的范围时，把t看作是x的函数，在求M(a)时，把综合放射性污染指数看作是t的函数．②在确定综合放射性污染指数是否超标时，用到了方程的思想．某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足y＝mf(x)，其中f(x)＝x216＋2，0x≤4，x＋142x－2，x4，当药剂在水中的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．(1)如果投放的药剂质量为m＝4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？(2)如果投放药剂质量为m，为了使在7天(从投放药剂算起包括7天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值．解(1)由题意，得当药剂质量m＝4时，y＝x24＋80x≤4，2x＋28x－1x4.当0x≤4时x24＋8≥4，显然符合题意．当x4时2x＋28x－1≥4，解得4x≤16.综上0x≤16.所以自来水达到有效净化一共可持续16天．[来源:Zxxk.Com](2)由y＝m·f(x)＝mx216＋2m0x≤4，mx＋142x－2x4，得当0x≤4时，y＝mx216＋2m在区间(0,4]上单调递增，即2my≤3m；当x4时，y′＝－30m2x－220，∴函数在区间(4,7]上单调递减，即7m4≤y3m，综上知，7m4≤y≤3m，为使4≤y≤10恒成立，只要7m4≥4且3m≤10即可，即167≤m≤103.所以应该投放的药剂量m的最小值为167.1．函数与方程(1)函数f(x)有零点⇔方程f(x)＝0有根⇔函数f(x)的图象与x轴有交点．(2)函数f(x)的零点存在性定理如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使f(c)＝0.①如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f(x)在区间[a，b]上是一个单调函数，那么当f(a)·f(b)0时，函数f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使f(c)＝0.②如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内不一定没有零点．③如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，那么当函数f(x)在区间(a，b)内有零点时不一定有f(a)·f(b)0，也可能有f(a)·f(b)0.2．函数综合题的求解往往应用多种知识和技能．因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决．3．应用函数模型解决实际问题的一般程序读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．1．已知函数