曲边梯形面积及汽车行驶的路程

xy0直线xy0几条线段连成的折线xyo曲线探究思考问题1：你能求出下面图形的面积吗？问题2：第三幅图的面积应该怎么求呢？曲边梯形曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形。Oxyaby=f(x)x=ax=b探究思考如何求曲边梯形的面积？以直代曲逼近y=f(x)baxyOA1用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，得AA1。探究思考AA1+A2用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得y=f(x)baxyOA1A2探究思考AA1+A2+A3+A4用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得y=f(x)baxyOA1A2A3A4探究思考y=f(x)baxyO将曲边梯形分成n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积A近似为AA1+A2++AnA1AiAn——以直代曲,无限逼近探究思考当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是f(xi)△x来近似表示小曲边梯形的面积表示了曲边梯形面积的近似值探究思考xxfxxfxxfn)()()(21分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S。例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积。n1n2nknn'211122222233111()()111211101(12(1))1(1)(21)611112.6nnnniiiiiiSSfxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxOy解:把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线,这样曲边三角形被分成n个窄条,用矩形来近似代替,然后把这些小矩形的面积加起来,得到一个近似值:2xy探究思考探究思考因此,我们有理由相信,这个曲边梯形的面积为:lim111lim1261.3nnnSSnnn1n2nknnxOy2xy（1）分割过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作.ΔS,,ΔS,,ΔS,ΔSni21把区间[0，1]等分成n个小区间：nn,n1n,,ni,n1i,,n2,n1,n10,n1n1ini每个区间的长度为Δx探究思考n1n2nknnxOy2xy（2）以直代曲n1)n1i(x)n1i(fS2i（3）作和])1n(210[n1n1)n1-i(n1)n1-if(SSSSS22223n1i2n1in1iin21探究思考n1n2nknnxOy)n12)(n11(61观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.2观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.区间[0,1]的等分数nS的近似值Sn20.1250000040.2187500080.27343750160.30273438320.31787109640.325561521280.329437262560.331382755120.3323574110240.3328452120480.33308923……我们还可以从数值上看出这一变化趋势（4）取极限当即时，从而有,n0x111(1)(1),32nSSnn1111111limlim()lim(1)(1)323nnnnniiSSfnnnn分割以直代曲作和逼近一般地，对于曲边梯形，我们也可采用的方法，求其面积.探究思考思考1：已知物体运动路程与时间的关系怎样求物体的运动速度？例如S(t)=3t2+2.则v(t)=S´(t)=6t+0.思考2：已知物体运动速度为v(常量)及时间t，怎么求路程？S=vt直接求出探究思考思考3：如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)=－t2+2。那么它在0≤t≤1这段时间内行驶的路程S是多少呢？2()2vtt=-+Ovt12解：1．分割在时间区间0,1上等间隔地插入1n个点，将区间0,1等分成n个小区间：10,n，12,nn，…，1,1nn记第i个区间为1,(1,2,,)iiinnn，其长度为11iitnnn把汽车在时间段10,n，12,nn，…，1,1nn上行驶的路程分别记作：1S，2S，…，nS显然，1niiSS（2）近似代替当n很大，即t很小时，在区间1,iinn上，可以认为函数22vtt的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点1in处的函数值2112iivnn，从物理意义上看，即使汽车在时间段1,iinn(1,2,,)in上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻1in处的速度2112iivnn作匀速直线运动即使汽车在时间段即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积iS近似的代替iS，则有21112iiiiSSvtnnn2112(1,2,,)iinnnn①（3）求和由①得，21111112nnnniiiiiiSSvtnnnn=221111102nnnnnn=222311212nn=3121126nnnn=11111232nn从而得到S的近似值11111232nSSnn（4）取极限当n趋向于无穷大时，即t趋向于0时，11111232nSnn趋向于S，从而有111limlimnnnniiSSvnn1115lim112323nnn思考4：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程s与由直线t=0，t=1，v=0和曲线v=－t2+2所围成的曲边梯形的面积有什么关系？otv12tv265.1图,,(),,.vvtatb一般地如果物体做变速直线运动速度函数为那么我们也可采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求出它在内的位移s2lim0,1,02.nnSSttvvt从而，汽车行驶的路程在数值上等于由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积可见：总结提升：求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法：（1）分割（2）近似代替（以直代曲）（3）求和（4）取极限21.(),12.().().().0iifxxnniffffnnn1nABCD当很大时，函数在区间上的值，可以用（）近似代替.C111“”(),        .().().()(,).iiiiiiiixxfxfxfxx2fxABCD、在近似代替中，函数在区间上的近似值等于（）只能是左端点的函数值只能是右端点的函数值可以是该区间内任一点的函数值以上答案均不正确C3、求直线与曲线所围成的曲边梯形的面积.0,2,0xxy2yx1.求曲边梯形面积的“四个步骤”：1°分割化整为零2°近似代替以直代曲3°求和积零为整4°取极限刨光磨平