2013届高考文科数学一轮复习课时作业(38)不等式的综合应用

1课时作业(三十八)第38讲不等式的综合应用[时间：45分钟分值：100分]基础热身1．[2011·衡水中学质检]0a1，m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a＋1)，p＝loga(2a)，则m、n、p的大小关系是()A．nmpB．mpnC．mnpD．pmn2．设0ba1，则下列不等式成立的是()A．abb21B.1212a12bC．a2ab1D．log12blog12a03．设函数f(x)＝2x，x2，2xx＋3，x≥2.若f(x0)1，则x0的取值范围是()A．(0,2)∪(3，＋∞)B．(3，＋∞)C．(0,1)∪(2，＋∞)D．(0,2)4．[2011·东城模拟]要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为()A．50B．253C．503D．100能力提升5．[2011·福建毕业班质检]设全集U＝R，集合A＝{x|x(x－2)0}，B＝{x|xa}．若A与B的关系如图K38－1所示，则a的取值范围是()图K38－1A．[0，＋∞)B．(0，＋∞)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)6．若直线xa＋yb＝1通过点M(cosα，sinα)，则()A．a2＋b2≥1B．a2＋b2≥1C.1a2＋1b2≤1D.1a2＋1b2≥17．已知c是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的半焦距，则b＋ca的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(2，＋∞)C．(1，2)D．(1，2]8．[2011·肥城联考]银行计划将某客户的资金给项目M和N投资一年，其中40%的资金给项目M,60%的资金给项目N，项目M能获得10%的年利润，项目N能获得35%的年利润．年终银行必须回笼资金，同时按一定的回报率支付给客户．为了使银行年利润不小于给M、N总投资的10%而不大于总投资的15%，则给客户的回报率最大值为()A．5%B．10%C．15%D．20%29．[2011·济宁一模]给定两个长度为1的平面向量OA→和OB→，它们的夹角为90°.如图K38－2所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动．若OC→＝xOA→＋yOB→，其中x、y∈R，则x＋y的最大值是()图K38－2A．1B.2C.3D．210．要挖一个面积为432m2的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为3m,4m的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长________m、宽________m.11．[2010·合肥六中质检]已知三个函数y＝2x，y＝x2，y＝8x的图象都过点A，且点A在直线xm＋y2n＝1(m0，n0)上，则log2m＋log2n的最小值为________．12．若命题“∃a∈[1,3]，使ax2＋(a－2)x－20”为真命题，则实数x的取值范围是____________．13．半径为4的球面上有A、B、C、D四点，AB，AC，AD两两互相垂直，则△ABC、△ACD、△ADB面积之和S△ABC＋S△ACD＋S△ADB的最大值为________．14．(10分)青海玉树大地震，牵动了全国各地人民的心，为了安置广大灾民，抗震救灾指挥部决定建造一批简易房(每套长方体状，房高2.5米)，前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算(即：钢板的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格)，每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元．房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元．每套房材料费控制在32000元以内，试计算：(1)设房前面墙的长为x，两侧墙的长为y，所用材料费为p，试用x，y表示p；(2)求简易房面积S的最大值是多少？并求S最大时，前面墙的长度应设计为多少米？15．(13分)已知f(x)＝xx＋1(x≠－1)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若ab0，c＝1a－bb，求证：f(a)＋f(c)34.难点突破16．(12分)已知函数f(x)＝13x3＋12ax2＋bx＋1(x∈R，a，b为实数)有极值，且在x＝－1处的切线与直线x－y＋1＝0平行．(1)求实数a的取值范围．(2)是否存在实数a，使得f′(x)＝x的两个根x1，x2满足0x1x21？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．34课时作业(三十八)【基础热身】1．D[解析]2aa2＋1a＋1，因此pmn.2．B[解析]依题意得ab－b2＝b(a－b)＞0，ab＞b2，因此A不正确．由函数y＝12x在R上是减函数得，当0＜b＜a＜1时，有12012b＞12a＞121＝12，即12＜12a＜12b，因此B正确．同理可知，C、D不正确．综上所述，选B.3．A[解析]当x0≥2时，2x0x0＋31，解得x03；当x02时，2x01，解得0x02.综上可知x0的取值范围是(0,2)∪(3，＋∞)，选A.4．A[解析]设矩形的长和宽分别为x、y，则x2＋y2＝100.于是S＝xy≤x2＋y22＝50，当且仅当x＝y时等号成立．【能力提升】5．C[解析]A＝{x|0x2}，AB，∴a≥2，故选C.6．D[解析]由题意知，直线xa＋yb＝1即直线bx＋ay－ab＝0与圆x2＋y2＝1有交点，所以圆心(0,0)到直线bx＋ay－ab＝0的距离d＝||－aba2＋b2≤1，解得1a2＋1b2≥1，选D.7．D[解析]由题设条件知，ab＋c，∴b＋ca1，∵a2＝b2＋c2，∴b＋c2a2＝b2＋c2＋2bca2≤2b2＋c2a2＝2，∴b＋ca≤2.故选D.8．C[解析]设银行在两个项目上的总投资金额为s，按题设条件，在M、N上的投资所得的年利润为PM、PN分别满足：PM＝40100s×10100，PN＝60100s×35100；银行的年利润P满足：10100s≤P≤15100s；这样，银行给客户的回报率为PM＋PN－Ps×100%，即10100≤PM＋PN－Ps≤15100.9．B[解析]OC→2＝(xOA→＋yOB→)2，化简可得x2＋y2＝1，所以x＋y＝x＋y2＝x2＋y2＋2xy≤2x2＋y2＝2，当且仅当x＝y＝22时等号成立．10．2418[解析]设鱼池的两边长分别为x，432x，∴S＝(x＋6)432x＋8＝432＋48＋2592x＋8x≥480＋288＝768，仅当8x＝2592x即x＝18，432x＝24时等号成立．11．4[解析]由题易得，点A的坐标为(2,4)，因为点A在直线xm＋y2n＝1(m0，n0)上，所以1＝2m＋42n≥22m·42n，∴mn≥16，所以log2m＋log2n＝log2(mn)≥4，故log2m＋log2n的最小值为4.12．x－1或x23[解析]令m(a)＝ax2＋(a－2)x－2＝(x2＋x)a－2x－2，m(a)是关于a的一次函数，∵命题“∃a∈[1,3]，使ax2＋(a－2)x－20”为真命题，∴m(1)0或m(3)0，即x2－x－20①或3x2＋x－20②，5由①得x－1或x2；由②得x－1或x23.所以，所求实数x的取值范围是x－1或x23.13．32[解析]根据题意可知，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则可知AB，AC，AD为球的内接长方体的一个角．故a2＋b2＋c2＝64，而S△ABC＋S△ACD＋S△ADB＝12(ab＋ac＋bc)≤a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c24＝a2＋b2＋c22＝32，当且仅当a＝b＝c＝833时等号成立．14．[解答](1)p＝2x×450＋2y×200＋xy×200＝900x＋400y＋200xy，故p＝900x＋400y＋200xy.(2)S＝x·y，且p≤32000；由题意可得：p＝200S＋900x＋400y≥200S＋2900×400S，⇒200S＋1200S≤p≤32000⇒(S)2＋6S－160≤0，⇒0S≤10⇒S≤100；当且仅当900x＝400y，xy＝100⇒x＝203时取最大值；答：简易房面积S的最大值为100平方米，此时前面墙设计为203米．15．[解答](1)对已知函数进行降次分项变形，得f(x)＝1－1x＋1，则f′(x)＝1x＋120，∴f(x)在区间(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递增．故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)．(2)证明：首先证明任意xy0，有f(x＋y)f(x)＋f(y)．事实上，f(x)＋f(y)＝xx＋1＋yy＋1＝xy＋xy＋x＋yxy＋x＋y＋1xy＋x＋yxy＋x＋y＋1＝f(xy＋x＋y)．而xy＋x＋yx＋y，由(1)知f(xy＋x＋y)f(x＋y)，∴f(x)＋f(y)f(x＋y)，c＝1a－bb1a－b＋b22＝4a20.∴a＋c≥a2＋a2＋4a2≥3，∴f(a)＋f(c)f(a＋c)≥f(3)＝34.【难点突破】16．[解答](1)f′(x)＝x2＋ax＋b，因为f(x)有极值，∴Δ＝a2－4b0(*)．又在x＝－1处的切线与直线x－y＋1＝0平行，∴f′(－1)＝1－a＋b＝1，∴b＝a代入(*)式得，a2－4a0，∴a4或a0.(2)假若存在实数a，使f′(x)＝x的两个根x1、x2满足0x1x21，即x2＋(a－1)x＋a＝0的两个根x1、x2满足0x1x21，6令g(x)＝x2＋(a－1)x＋a，则有：Δ＝a－12－4a0，01－a21，g0＝a0，g1＝2a0，解得0a3－22.∴由(1)知不存在实数a，使得f′(x)＝x的两个根满足0x1x21.