2013年高考数学最后回归基础知识二函数及其表示

二、函数及其表示(一)函数的概念1、定义一般地，我们说：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作Axxfy),(其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合Axxf)(叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集。2、函数的三要素(1)函数的三要素是指定义域、对应关系和值域。(2)由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。3、区间。设a，b是两个实数，而且ab，我们规定：(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为［a,b］；(2)满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)；(3)满足不等式a≤xb或ax≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为baba,,,这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。定义名称符号数轴表示[来源:学科网]bxax|闭区间［a，b］bxax|开区间(a，b)bxax|半开半闭区间ba,实数集常用区间表示为，，“∞”读作“无穷大”。“”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”集合符号数轴表示axx|,a拓展与提示：(1)函数符号y=f(x)是由德国数学家莱布尼兹在18世纪引入的。(2)注意区别f(a)和f(x)，f(x)是指函数解析式，f(a)是指自变量为a时的函数值。axx|,abxx|(,)bbxx|b，例1求下列函数的定义域xxy211解析要使xxy211有意义，则必须210201xxxx，即x≥-1且x≠2，故所求函数的定义域为21|xxx且例2(1)已知函数f(x)的定义域是［-1，3］，求f(x+1)和f(x2)的定义域(2)已知函数f(2x+3)的定义域为2,1，求f(x-1)的定义域解析(1)∵f(x)的定义域为［-1，3］，∴f(x+1)的定义域由-1≤x+1≤3确定，即-2≤x≤2，∴f(x+1)的定义域为［-2，2］.f(x2)的定义域由-1≤x2≤3确定，即33x∴f(x2)的定义域为[33，](2)∵函数f(2x+3)的定义域为2,1，∴2x+3中的x满足-1x≤2，∴12x+3≤7.令t=2x+3，则f(t)的定义域为7,1.拓展与提示：(1)在数轴上，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。(2)求函数定义域，主要通过下列途径实现。①若f(x)是整式，则定义域为R；②若f(x)为分式，则定义域为使分母不为零的全体实数；③若f(x)为偶次根式，则定义域为使被开方数为非负数的全体实数；④若f(x)的定义域为［a,b］，则f［g(x)］的定义域是a≤g(x)≤b的解集；⑤若f［g(x)］的定义域为［a，b］，则f(x)的定义域是g(x)在bax,下的值域。又1x-1≤7，∴2x≤8∴f(x-1)的定义域为8,24、反函数式子y=f(x)表示y是自变量x的函数，设它的定义域为A，值域为C，我们从式子y=f(x)中解出x得到x=g(y)，如果对于y在C中的任何一个值通过式子x=g(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=g(y)表示y是自变量x的函数，这样的函数x=g(y)叫做y=f(x)的反函数，记作)(1yfx，一般写成)(1xfy.(二)函数的表示法1、函数的三种表示法解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系。列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。2、分段函数若函数在定义域的不同子集上对应关系不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数，它是一类重要函数，形式是：nnDxxfDxxfDxxfxf)()()()(2211分段函数是一个函数，而不是几个函数，对于分段函数必须分段处理，其定义域为D1∪D2∪…∪Dn.例中国移动通信已于2006年3月21日开始在所属18个省、市移动公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”，这个套餐的最大特点是针对不同用户采用了不同的收费方法，具体方案如下：方案代号基本月租(元)免费时间(分钟)超过免费时间话费(元/分钟)1[来源:学#科#网]30480.602981700.6031683300.5042686000.45拓展与提示：(1)函数y=f(x)的定义域和值域分别是它的反函数的值域和定义域；(2)函数y=f(x)的图象和它的反函数)(1xfy的图象关于直线y=x对称。拓展与提示：(1)函数用列表法表示时，其定义域是表中自变量所取值的全体，其值域是表中对应函数值的全体。(2)函数用图象法表示时，其定义域是图象投射到x轴上的区域范围，其值域是图象投射到y轴上的区域范围。拓展与提示：分段函数中，分段函数的定义域的交集为空集。538810000.40请问：“套餐”中第3种收费方式的月话费y与月通话量t(月通话量是指一个月内每次通话用时之和)的函数关系式。解析“套餐”中第3种收费函数为1168,0330,1680.5(330),330.tytt3、复合函数若y是u的函数，u又是x的函数，即y=f(u),u=g(x),x∈(a,b),u∈(m,n)，那么y关于x的函数y=f［g(x)］，x∈(a,b)叫做f和g的复合函数，u叫做中间变量，u的取值范围是g(x)的值域。4、映射设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。5、函数解析式的求法①待定系数法。若已知函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程或方程组，再求系数。②换元法。若已知函数)(xfy的解析式，可令)(xt，并由此求出x=g(t)，然后代入解析式求得y=f(t)的解析式，要注意t的取值范围为所求函数的定义域。③赋值法：可令解析式中的自变量等于某些特殊值求解。④列方程(组)法求解。若所给式子中含有f(x)，xf1或f(x),f(-x)等形式，可考虑构造另一个方程，通过解方程组获解。5．配凑法例解答下列各题：(1)已知f(x)=x2-4x+3，求f(x+1)；(2)已知f(x+1)=x2-2x，求f(x)；(3)已知二次函数g(x)满足g(1)=1,g(-1)=5，图象过原点，求g(x)。解析(1)f(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+3=x2-2x(2)方法一：(配凑法)f(x+1)=(x+1)2-2x-1-2x=(x+1)2-4x-1=(x+1)2-4(x+1)+3，∴f(x)=x2-4x+3方法二：(换元法)令x+1=t，则x=t-1，f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3，∴f(x)=x2-4x+3.(2)由题意设g(x)=ax2+bx+c，a≠0.拓展与提示：(1)映射包括集合A、B以及从A到B的对应法则f，三者缺一不可，且A、B必须非空。(2)A中的元素在B中都能找到唯一的元素和它对应，而B中的元素却不一定在A中找到对应元素，即使有，也不一定只有一个。∵g(1)=1,g(-1)=4，且图象过原点，∴.0,5,1ccbacba解得.0,2,3cba∴g(x)=3x2-2x.