2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学8-1

1.(2011·安徽文，4)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为()A．－1B．1C．3D．－3[答案]B[解析]圆的圆心为(－1,2)，代入直线3x＋y＋a＝0，∴－3＋2＋a＝0，∴a＝1.2．(文)(2011·湛江市调研)如果直线ax＋3y＋1＝0与直线2x＋2y－3＝0互相垂直，那么a的值等于()A．3B．－13C．－3D.13[答案]C[解析]由两直线垂直可得2a＋3×2＝0，所以a＝－3，故选C.(理)(2011·辽宁沈阳二中检测)“a＝2”是“直线2x＋ay－1＝0与直线ax＋2y－2＝0平行”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]两直线平行的充要条件是2a＝a2≠－1－2，即两直线平行的充要条件是a＝±2.故a＝2是直线2x＋ay－1＝0与直线ax＋2y－2＝0平行的充分不必要条件．[点评]如果适合p的集合是A，适合q的集合是B，若A是B的真子集，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p，q互为充要条件，若B是A的真子集，则p是q的必要不充分条件．3．(2011·皖南八校第三次联考)直线2x－y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是()A．x＋2y－1＝0B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－5＝0D．x＋2y－5＝0[答案]C[解析]由题意可知，直线2x－y＋1＝0与直线x＝1的交点为(1,3)，直线2x－y＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x－y＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线方程是y－3＝－2(x－1)，即2x＋y－5＝0，选C.[点评]可由点的对称特征及特值法求解．设所求直线上任一点P(x，y)，P关于x＝1对称的点P1(2－x，y)在直线2x－y＋1＝0上，∴2(2－x)－y＋1＝0，∴2x＋y－5＝0.4．(2011·山东青岛模拟)已知函数f(x)＝ax(a0且a≠1)，当x0时，f(x)1，方程y＝ax＋1a表示的直线是()[答案]C[解析]∵x0时，ax1，∴0a1.则直线y＝ax＋1a的斜率0a1，在y轴上的截距1a1.故选C.5．(文)(2011·西安八校联考)已知直线l的倾斜角为3π4，直线l1经过点A(3,2)，B(a，－1)，且直线l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于()A．－4B．－2C．0D．2[答案]B[解析]依题意知，直线l的斜率为k＝tan3π4＝－1，则直线l1的斜率为1，于是有2＋13－a＝1，∴a＝0，又直线l2与l1平行，∴1＝－2b，∴b＝－2，∴a＋b＝－2，选B.(理)直线l1：3x－y＋1＝0，直线l2过点(1,0)，且l2的倾斜角是l1的倾斜角的2倍，则直线l2的方程为()A．y＝6x＋1B．y＝6(x－1)C．y＝34(x－1)D．y＝－34(x－1)[答案]D[解析]设直线l1的倾斜角为α，则由tanα＝3可求出直线l2的斜率k＝tan2α＝2tanα1－tan2α＝－34，再由l2过点(1,0)可得直线方程为y＝－34(x－1)，故选D.[点评]由l2过点(1,0)排除A，由l1的斜率k1＝31知，其倾斜角大于45°，从而直线l2的倾斜角大于90°，斜率为负值，排除B、C，选D.6．(2010·温州十校)已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是()A．－2B．－7C．3D．1[答案]C[解析]由已知条件可知线段AB的中点1＋m2，0在直线x＋2y－2＝0上，代入直线方程解得m＝3.[点评]还可利用kAB⊥kl求解，或AB→为l的法向量，则AB→∥a，a＝(1,2)．7．(文)设点A(1,0)，B(－1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．[答案][－2,2][解析]当直线过A点时，b＝2，当直线过B点时，b＝－2，∴－2≤b≤2.(理)若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号为________．(写出所有正确答案的序号)[答案]①⑤[解析]求得两平行线间的距离为2，则m与两平行线的夹角都是30°，而两平行线的倾斜角为45°，则m的倾斜角为75°或15°，故填①⑤.8．(2011·温州一检)已知直线x＋2y＝2与x轴、y轴分别相交于A、B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．[答案]12[解析]由题意知A(2,0)，B(0,1)，所以线段AB的方程用截距式表示为x2＋y＝1，x∈[0,2]，又动点P(a，b)在线段AB上，所以a2＋b＝1，a∈[0,2]，又a2＋b≥2ab2，所以1≥2ab2，解得0≤ab≤12，当且仅当a2＝b＝12，即P(1，12)时，ab取得最大值12.1.(文)(2011·河北省藁城市模拟)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点P横坐标的取值范围为()A．[－1，－12]B．[－1,0]C．[0,1]D．[12，1][答案]A[解析]设P(x0，y0)，由y＝x2＋2x＋3，得y′＝2x＋2，根据导数的几何意义，切线的斜率k＝2x0＋2.又切线的倾斜角α的取值范围为[0，π4]，∴k＝tanα∈[0,1]，即0≤2x0＋2≤1，解得－1≤x0≤－12，故选A.(理)(2011·福州市期末)定义：平面内横坐标为整数的点称为“左整点”．过函数y＝9－x2图象上任意两个“左整点”作直线，则倾斜角大于45°的直线条数为()A．10B．11C．12D．13[答案]B[解析]依据“左整点”的定义知，函数y＝9－x2的图象上共有七个左整点，如图过两个左整点作直线，倾斜角大于45°的直线有：AC，AB，BG，CF，CG，DE，DF，DG，EF，EG，FG共11条，故选B.2．(文)点(sinθ，cosθ)到直线xcosθ＋ysinθ＋1＝0的距离小于12，则θ的取值范围是()A．(2kπ－5π6，2kπ－π6)(k∈Z)B．(kπ－5π12，kπ－π12)(k∈Z)C．(2kπ－2π3，2kπ－π3)(k∈Z)D．(kπ－π3，kπ－π6)(k∈Z)[答案]B[解析]由点到直线的距离公式得：|sinθcosθ＋cosθsinθ＋1|cos2θ＋sin2θ12，∴|sin2θ＋1|12，∴－32sin2θ－12.∴2kπ－5π62θ2kπ－π6(k∈Z)，∴kπ－5π12θkπ－π12(k∈Z)，故选B.(理)(2011·安徽省高三联考)点P到点A(1,0)和直线x＝－1的距离相等，且点P到直线y＝x的距离为22，这样的点P的个数是()A．1B．2C．3D．4[答案]C[解析]∵点P到点A和定直线x＝－1距离相等，易知P点轨迹为抛物线，方程为y2＝4x.设P(t2,2t)，则22＝|2t－t2|2，解之得t1＝1，t2＝1＋2，t3＝1－2，∴P点有三个，故选C.3．(2011·安徽省示范高中皖北协作区高三联考)若过点P(2,1)的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则这样的直线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条[答案]C[解析]设过点P(2,1)的直线方程为xa＋yb＝1，则2a＋1b＝1，即2b＋a＝ab，又S＝12|a||b|＝4，即|ab|＝8，由2b＋a＝ab，|ab|＝8，解得a、b有三组解a＝4b＝2，a＝－4－42b＝－2＋22或a＝42－4b＝－2－22.所以所求直线共有3条，故选C.4．已知两直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，那么()A．b0，d0，acB．b0，d0，acC．b0，d0，acD．b0，d0，ac[答案]C[解析]由题意知l1：y＝－1ax－ba，－1a0，－ba0，，∴a0，b0.l2：y＝－1cx－dc，由图知－1c0，－dc0，∴c0，d0.由x＋ay＋b＝0，x＋cy＋d＝0，得(a－c)y＝d－b，交点在第一象限，所以y＝d－ba－c0，因为d－b0，所以ac，故选C.[点评]由直线的位置提供直线的斜率、在y轴上的截距和两直线交点的信息，将这些信息用数学表达式表达出来即可解决问题．5．(2010·河南许昌调研)如果f′(x)是二次函数，且f′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，－3)，那么曲线y＝f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是________．[答案][0，π2)∪(2π3，π)[解析]由题意f′(x)＝a(x－1)2－3，∵a0，∴f′(x)≥－3，因此曲线y＝f(x)上任一点的切线斜率k＝tanα≥－3，∵倾斜角α∈[0，π)，∴0≤απ2或2π3απ.6．△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．[解析]由x－2y＋1＝0y＝0，得顶点A(－1,0)，∴kAB＝1，∵x轴是∠A的平分线，∴kAC＝－1，∴AC：y＝－(x＋1)，又kBC＝－2，∴BC：y－2＝－2(x－1)，∴C(5，－6)．7．(文)过点A(3，－1)作直线l交x轴于点B，交直线l1：y＝2x于点C，若|BC|＝2|AB|，求直线l的方程．[解析]当k不存在时B(3,0)，C(3,6)．此时|BC|＝6，|AB|＝1，|BC|≠2|AB|，∴直线l的斜率存在，∴设直线l的方程为：y＋1＝k(x－3)令y＝0得B(3＋1k，0)由y＝2xy＋1＝kx－3得C点横坐标xc＝1＋3kk－2若|BC|＝2|AB|则|xB－xC|＝2|xA－xB|∴|1＋3kk－2－1k－3|＝2|1k|∴1＋3kk－2－1k－3＝2k或1＋3kk－2－1k－3＝－2k解得k＝－32或k＝14∴所求直线l的方程为：3x＋2y－7＝0或x－4y－7＝0.(理)有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量各自都是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y与x的函数关系．[解析]当0≤x≤10时，直线过点O(0,0)，A(10,20)，∴kOA＝2010＝2，∴此时直线方程为y＝2x；当10x≤40时，直线过点A(10,20)，B(40,30)，此进kAB＝30－2040－10＝13，∴此时的直线方程为y－20＝13(x－10)，即y＝13x＋503；当x40时，由题意知，直线的斜率就是相应放水的速度，设进水的速度为v1，放水的速度为v2，在OA段时是进水过程，∴v1＝2.在AB段是既进水又放水的过程，由物理知识可知，此时的速度为v1＋v2＝13，∴2＋v2＝13.∴v2＝－53.∴当x40时，k＝－53.又过点B(40,30)，∴此时的直线方程为y＝－53x＋2903.令y＝0得，x＝58，此时到C(58,0)放水完毕．综上所述：y＝2x，0≤x≤1013x＋503，10x≤40－53x＋2903，40x≤58.1．曲线y＝k|x|及y＝x＋k(k0)能围成三角形，则k的取值范围是()A．0k1B．0k≤1C．k1D．k≥1[答案]C[解析]数形结合法．在同一坐标系中作出两函数的图象，可见k≤1时围不成三角形，k1时能围成三角形．2．已知直线l1、l2的方程分别为x＋ay＋b＝0，x＋cy＋d＝0，其图象如图所示，则有()A．ac0B．acC．bd0D．bd[答案]C[解析]由图可知，a、c均不为零．直线l1的斜