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2014年高三数学第一次月考一、选择题1.已知集合M={1,2,3},N={2,3,4},则()A.M⊆NB.N⊆MC.M∩N={2,3}D.M∪N={1,4}2、设全集为R,函数f(x)=1-x2的定义域为M,则∁RM为()A.[-1,1]B.(-1,1)C.(-∞,-1]∪[1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)[来源:Z_xx_k.Com]3、设a,b为实数,则“0ab1”是“b1a”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、函数f(x)=1-xlog2x的零点所在区间是()A.14,12B.12,1C.(1,2)D.(2,3)5、已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为()A.(-1,1)B.-1,-12C.(-1,0)D.12,1解析:选C因为f(1)=1-log21=10,f(2)=1-2log22=-10,即f(1)f(2)0,据零点存在定理可得函数的零点所在的区间为(1,2),故选C.6、设a=0.50.5,b=0.30.5,c=log0.30.2,则a,b,c的大小关系是()A.abcB.abcC.bacD.acb解析:选C根据幂函数y=x0.5的单调性,可得0.30.50.50.510.5=1,即ba1;对数函数y=log0.3x的单调性;可得log0.30.2log0.30.3=1,即c1.所以bac.7、由直线x=-π3,x=π3,y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为()A.12B.1C.32D.3解析:选D结合图形可得:[来源:学科网]8.如果函数f(x)对任意的实数x,都有f(1+x)=f(-x),且当x≥12时,f(x)=log2(3x-1),那么函数f(x)在[-2,0]上的最大值与最小值之和为()A.2B.3C.4D.-1解析:选C根据f(1+x)=f(-x),可知函数f(x)的图象关于直线x=12对称.又函数f(x)在12,+∞上单调递增,故f(x)在-∞,12上单调递减,则函数f(x)在[-2,0]上的最大值与最小值之和为f(-2)+f(0)=f(1+2)+f(1+0)=f(3)+f(1)=log28+log22=4.二、填空题9、函数f(x)=-2x2+4x在区间[0,3]上的值域是10、若一物体运动方程如下:)2()3()3(329)1()30(2322tttts则此物体在1t和3t时的瞬时速度分别是________和_______11、给出下列结论:①如果命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题,那么命题q一定是真命题②命题“若a=0,则ab=0”的否命题是:若“a≠0,则ab≠0”③若命题p:∃x0∈R,ln(x20+1)0,则¬p:∀x∈R,ln(x2+1)≥0④“sinθ=12”是“θ=30°”的充分不必要条件其中所有正确结论的序号为______.12、函数22log2yxx的单调递增区间是_______________13、若a0,a23=49,则log23a=________.解析:3∵a23=49,∴log23a23=log2349,∴23log23a=log23232=2,∴log23a=3.14、已知f(1-cosx)=sin2x,则f32=________解析:34f(1-cosx)=sin2x=1-cos2x,[来源:学.科.网Z.X.X.K]令1-cosx=t,则cosx=1-t.∵-1≤cosx≤1,∴0≤1-cosx≤2.∴0≤t≤2.∴f(t)=1-(1-t)2=-t2+2t(0≤t≤2).故f(x)=-x2+2x(0≤x≤2).∴f32=-94+3=34.三、解答题15、已知集合A={x|x2-x-20},B={x|y=ln(1-x)},(1)求A,B(2)求AB,()RACB16、已知f(x)=x3-3x(1)'(2)f(2)求f(x)的极值17、已知函数f(x)=xm-2x,且f(4)=72.(1)求m的值;(2)判定f(x)的奇偶性;(3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明.解:(1)因为f(4)=72,所以4m-24=72.所以m=1.(2)由(1)知f(x)=x-2x,则f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称.又f(-x)=-x-2-x=-x-2x=-f(x),[来源:学科网]所以f(x)是奇函数.(3)设x1x20,则f(x1)-f(x2)=x1-2x1-x2-2x2=(x1-x2)1+2x1x2.因为x1x20,所以x1-x20,1+2x1x20.所以f(x1)f(x2).所以f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数.18、已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6(a∈R).(1)若函数的值域为[0,+∞),求a的值;(2)若函数的值域为非负数,求函数g(a)=2-a|a+3|的值域.解:(1)∵函数的值域为[0,+∞),∴Δ=16a2-4(2a+6)=0,∴2a2-a-3=0,解得a=-1或a=32.(2)∵对一切x∈R函数值均为非负,∴Δ=16a2-4(2a+6)=8(2a2-a-3)≤0.∴-1≤a≤32.∴a+30,∴g(a)=2-a|a+3|=-a2-3a+2=-a+322+174a∈-1,32.∵二次函数g(a)在-1,32上单调递减,∴g32≤g(a)≤g(-1).即-194≤g(a)≤4.∴g(a)的值域为-194,4.19、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时.研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;[来源:Zxxk.Com](2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/时)解:(1)由题意,当0≤x≤20时,v(x)=60;当20≤x≤200时,设v(x)=ax+b,再由已知得200a+b=0,20a+b=60,解得a=-13,b=2003.故函数v(x)的表达式为v(x)=60,0≤x≤20,13x200-x,20x≤200.(2)依题意并由(1)可得f(x)=60x,0≤x≤20,13x200-x,20x≤200.当0≤x≤20时,f(x)为增函数,故当x=20时,其最大值为60×20=1200;当20x≤200时,f(x)=13x(200-x)≤13x+200-x22=100003,当且仅当x=200-x,即x=100时等号成立.所以当x=100时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值100003.综上,当x=100时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值100003≈3333,即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/时.20、已知函数f(x)=lnx-ax.(1)若a>0,试判断f(x)在定义域内的单调性;(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为32,求a的值;(3)若f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.解:(1)由题意知f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=1x+ax2=x+ax2.∵a>0,∴f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.(2)由(1)可知,f′(x)=x+ax2.①若a≥-1,则x+a≥0,即f′(x)≥0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为增函数,∴f(x)min=f(1)=-a=32,∴a=-32(舍去).②若a≤-e,则x+a≤0,即f′(x)≤0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为减函数,∴f(x)min=f(e)=1-ae=32,∴a=-e2(舍去).[来源:Z&xx&k.Com]③若-e<a<-1,令f′(x)=0得x=-a,当1<x<-a时,f′(x)<0,∴f(x)在(1,-a)上为减函数;当-a<x<e时,f′(x)>0,∴f(x)在(-a,e)上为增函数.∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=32,∴a=-e.综上所述,a=-e.(3)∵f(x)<x2,∴lnx-ax<x2.又x>0,∴a>xlnx-x3.令g(x)=xlnx-x3,h(x)=g′(x)=1+lnx-3x2,h′(x)=1x-6x=1-6x2x.∵x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,∴h(x)在(1,+∞)上是减函数.∴h(x)<h(1)=-2<0,即g′(x)<0,∴g(x)在(1,+∞)上也是减函数.g(x)<g(1)=-1,∴当a≥-1时,f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立.即所求a的取值范围为[-1,+∞).
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