2013届新高考全案人教版数学(课外学生练与悟)3-6

第3章第6讲一、选择题1．下面给出四个点中，位于x＋y－10，x－y＋10表示的平面区域内的点是()A．(0,2)B．(－2,0)C．(0，－2)D．(2,0)[答案]C2．(2009·安徽卷理)若不等式组x≥0x＋3y≥43x＋y≤4所表示的平面区域被直线y＝kx＋43分为面积相等的两部分，则k的值是()A.73B.37C.43D.34[解析]不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC由x＋3y＝43x＋y＝4得A(1,1)，又B(0,4)，C(0，43)∴S△ABC＝12(4－43)×1＝43，设y＝kx＋43与3x＋y＝4的交点为D，则由S△BCD＝12S△ABC＝23知xD＝12，∴yD＝52，∴52＝k×12＋43，k＝73.[答案]A3．(2010·重庆，7)设变量x，y满足约束条件x≥0，x－y≥0，2x－y－2≤0，则z＝3x－2y的最大值为()A．0B．2C．4D．6[解析]作出如图阴影所示的可行域，易得A(2,2)，B(0，－2)，把B坐标代入目标函数，得zmax＝3×0－2×(－2)＝4，故选C.[答案]C4．(2009·福建卷文)在平面直角坐标系中，若不等式组x＋y－1≥0x－1≤0ax－y＋1≥0(a为常数)所表示的平面区域内的面积等于2，则a的值为()A．－5B．1C．2D．3[解析]如图可得x－1≤0与x＋y－1≥0的可行域，而直线ax－y＋1＝0恒过(0,1)，故看作直线绕点(0,1)旋转，当a＝－5时，则可行域不是一个封闭区域，当a＝1时，面积是1；a＝2时，面积是32；当a＝3时，面积恰好为2.[答案]D5．(2009·四川卷理)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是()A．12万元B．20万元C．25万元D．27万元[解析]设甲、乙两种产品各需生产x、y吨，可使利润z最大，故本题即已知约束条件3x＋y≤132x＋3y≤18x≥0y≥0，x＝3y＝4，故zmax求目标函数z＝5x＋3y的最大值，可求出最优解为＝15＋12＝27.[答案]D6．已知D是由不等式组x－y≥0x＋y≥0，所确定的平面区域，则圆x2＋y2＝4在区域D内的弧长为()A.π4B.π2C.3π4D．π[解析]如图示，图中阴影部分所在圆心角对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别是1、－1，所以圆心角α即为两直线的所成夹角，因为直线的倾斜为π4与3π4，所以夹角为π2，即α＝π2，而圆的半径是2，所以弧长是π.[答案]D二、填空题7．(2009·浙江理)若实数x，y满足不等式组x＋y≥2，2x－y≤4，x－y≥0，则2x＋3y的最小值是________．[解析]通过画出其线性规划，可知直线y＝－23x＋z过点(2,0)时，(2x＋3y)min＝4[答案]48．以原点为圆心的圆全部在区域x－3y＋6≥02x＋y－4≤03x＋4y＋9≥0内，则圆面积的最大值为______．[解析]∵0到l1，l2，l3的距离分别为3510，455，95，∴所求圆的半径的最大值为455，面积为165π.[答案]16π59．(2010·北京，11)若点P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y＜3表示的平面区域内，则m＝________.[解析]∵|4m－3×3＋1|42＋－32＝4∴|m－2|＝5∴m＝7或－3∵点P(7,3)的坐标不满足不等式2x＋y＜3，而点P(－3,3)的坐标满足．∴m＝－3.[答案]－310．(2009·山东卷文)某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．[解析]设甲种设备需要生产x天，乙种设备需要生产y天，该公司所需租赁费为z元，则z＝200x＋300y，甲、乙两种设备生产A，B两类产品的情况为下表所示：产品设备A类产品(件)(≥50)B类产品(件)(≥140)租赁费(元)甲设备510200乙设备620300则满足的关系为5x＋6y≥5010x＋20y≥140x≥0，y≥0即：x＋65y≥10x＋2y≥14x≥0，y≥0，作出不等式表示的平面区域，当z＝200x＋300y对应的直线过两直线x＋65y＝10x＋2y＝14的交点(4,5)时，目标函数z＝200x＋300y取得最低为2300元．[答案]2300三、解答题11．某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一吨产品所消耗的电能和煤、所需工人人数以及所得产值如下表所示：品种电能(千度)煤(吨)工人人数(人)产值(万元)甲2357乙85210已知该工厂的工人人数最多是200人，根据限额，该工厂每天消耗电能不得超过160千度，消耗煤不得超过150吨，问怎样安排甲、乙两种产品的生产数量，才能使每天所得的产值最大．[解]设甲、乙两种产品每天分别生产x吨和y吨，则每天所得的产值为z＝7x＋10y万元．依题意，得不等式组2x＋8y≤160，3x＋5y≤150，5x＋2y≤200，①x≥0，y≥0.由2x＋8y＝160，3x＋5y＝150，解得x＝2007，y＝907.由5x＋2y＝200，3x＋5y＝150，解得x＝70019，y＝15019设点A的坐标为(2007，907)，点B的坐标为(70019，15019)，则不等式组①所表示的平面区域是四边形的边界及其内部(如图中阴影部分)．令z＝0，得7x＋10y＝0，即y＝－710x.作直线l0：y＝－710x.由图可知把l0平移至过点B(70019，15019)时，即x＝70019，y＝15019时，z取得最大值640019.答：每天生产甲产品70019吨、乙产品15019吨时，能获得最大的产值640019万元．12．某公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假设甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来收益分别为0.3万元和0.2万元，问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？[解]设公司在甲、乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益y元．由题意得x＋y≤300500x＋200y≤90000x≥0，y≥0z＝3000x＋2000y由约束条件得可行域，如图所示四边形OABC作直线l：3000x＋2000y＝0即3x＋2y＝0平移l，由图象可知B∈l时目标函数取最大值由x＋y＝3005x＋2y＝900⇒M(100,200)∴zmax＝700000(元)答：该公司在甲、乙电视台分别做100分钟，200分钟广告时，公司收益最大，收益70万元．