高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型(经典)

1一,向量重要结论（1）、向量的数量积定义：||||cosabab规定00a，22||aaaa新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（2）、向量夹角公式：a与b的夹角为，则cos||||abab（3）、向量共线的充要条件：b与非零向量a共线存在惟一的R，使ba。（4）、两向量平行的充要条件：向量11(,)axy,22(,)bxy平行12210xyxy（5）、两向量垂直的充要条件：向量ab0ab12120xxyy（6）、向量不等式：||||||abab，||||||abab（7）、向量的坐标运算：向量11(,)axy,22(,)bxy，则ab1212xxyy（8）、向量的投影：︱b︱cos=||aba∈R，称为向量b在a方向上的投影新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆投影的绝对值称为射影新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（9）、向量：既有大小又有方向的量。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。相等向量：长度相等且方向相同的向量。（10）、零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆零向量a＝0｜a｜＝0奎屯王新敞新疆由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）（11）、单位向量：模为1个单位长度的向量新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆向量0a为单位向量｜0a｜＝1奎屯王新敞新疆（12）、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆任意一组平行向量都可以移到同一直线上新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆方向相同或相反的向量，称为平行向量奎屯王新敞新疆记作a∥b奎屯王新敞新疆由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量奎屯王新敞新疆注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1）给出直线的方向向量ku,1或nmu,，要会求出直线的斜率；（2）给出OBOA与AB相交,等于已知OBOA过AB的中点;（3）给出0PNPM,等于已知P是MN的中点;（4）给出BQBPAQAP,等于已知QP,与AB的中点三点共线;（5）给出以下情形之一：①ACAB//；②存在实数,ABAC使；③若存在实数,,1,OCOAOB且使,等于已知CBA,,三点共线.（6）给出1OBOAOP，等于已知P是AB的定比分点，为定比，即PBAP（7）给出0MBMA,等于已知MBMA,即AMB是直角,给出0mMBMA,等于已知AMB是钝角,给出0mMBMA,等于已知AMB是锐角。（8）给出MPMBMBMAMA,等于已知MP是AMB的平分线/（9）在平行四边形ABCD中，给出0)()(ADABADAB，等于已知ABCD是菱形;2（10）在平行四边形ABCD中，给出||||ABADABAD，等于已知ABCD是矩形;（11）在ABC中，给出222OCOBOA，等于已知O是ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12）在ABC中，给出0OCOBOA，等于已知O是ABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在ABC中，给出OAOCOCOBOBOA，等于已知O是ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（14）在ABC中，给出OAOP()||||ABACABAC)(R等于已知AP通过ABC的内心；（15）在ABC中，给出,0OCcOBbOAa等于已知O是ABC的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（16）在ABC中，给出12ADABAC,等于已知AD是ABC中BC边的中线。（17）如果21,ee是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,使：2211eea，其中不共线的向量21,ee叫做表示这一平面内所有向量的一组基底新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（18）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（19）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（20）1.结合律不成立：abcabc；2.消去律不成立abac不能得到bc3.ab=0不能得到a=0或b=0新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。（4）四边形ABCD是平行四边形的条件是ABCD。（5）若ABCD，则A、B、C、D四点构成平行四边形。（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。（7）若a与b共线，b与c共线，则a与c共线。（8）若mamb，则ab。3（9）若mana，则mn。（10）若a与b不共线，则a与b都不是零向量。（11）若||||abab，则//ab。（12）若||||abab，则ab。题型2.向量的加减运算1.设a表示“向东走8km”,b表示“向北走6km”,则||ab。2.化简()()ABMBBOBCOM。3.已知||5OA,||3OB,则||AB的最大值和最小值分别为、。4.已知ACABAD为与的和向量，且,ACaBDb，则AB，AD。5.已知点C在线段AB上，且35ACAB,则ACBC，ABBC。题型3.向量的数乘运算1.计算：（1）3()2()abab（2）2(253)3(232)abcabc2.已知(1,4),(3,8)ab，则132ab。题型4.作图法球向量的和已知向量,ab，如下图，请做出向量132ab和322ab。ab题型5.根据图形由已知向量求未知向量1.已知在ABC中，D是BC的中点，请用向量ABAC，表示AD。2.在平行四边形ABCD中，已知,ACaBDb，求ABAD和。题型6.向量的坐标运算1.已知(4,5)AB，(2,3)A，则点B的坐标是。2.已知(3,5)PQ，(3,7)P，则点Q的坐标是。3.若物体受三个力1(1,2)F,2(2,3)F,3(1,4)F,则合力的坐标为。44.已知(3,4)a，(5,2)b，求ab，ab，32ab。5.已知(1,2),(3,2)AB,向量(2,32)axxy与AB相等，求,xy的值。6.已知(2,3)AB，(,)BCmn，(1,4)CD，则DA。7.已知O是坐标原点，(2,1),(4,8)AB，且30ABBC，求OC的坐标。题型7.判断两个向量能否作为一组基底1.已知12,ee是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：A.1212eeee和B.1221326eeee和4C.122133eeee和D.221eee和2.已知(3,4)a，能与a构成基底的是（）A.34(,)55B.43(,)55C.34(,)55D.4(1,)3题型8.结合三角函数求向量坐标1.已知O是坐标原点，点A在第二象限，||2OA，150xOA，求OA的坐标。2.已知O是原点，点A在第一象限，||43OA，60xOA，求OA的坐标。题型9.求数量积1.已知||3,||4ab，且a与b的夹角为60，求（1）ab，（2）()aab，（3）1()2abb，（4）(2)(3)abab。2.已知(2,6),(8,10)ab，求（1）||,||ab，（2）ab，（3）(2)aab，（4）(2)(3)abab。题型10.求向量的夹角1.已知||8,||3ab，12ab，求a与b的夹角。2.已知(3,1),(23,2)ab，求a与b的夹角。53.已知(1,0)A，(0,1)B，(2,5)C，求cosBAC。题型11.求向量的模1.已知||3,||4ab，且a与b的夹角为60，求（1）||ab，（2）|23|ab。2.已知(2,6),(8,10)ab，求（1）||,||ab，（5）||ab，（6）1||2ab。3.已知||1||2ab，，|32|3ab，求|3|ab。题型12.求单位向量【与a平行的单位向量：||aea】1.与(12,5)a平行的单位向量是。2.与1(1,)2m平行的单位向量是。题型13.向量的平行与垂直1.已知(6,2)a，(3,)bm，当m为何值时，（1）//ab？（2）ab？2.已知(1,2)a，(3,2)b，（1）k为何值时，向量kab与3ab垂直？（2）k为何值时，向量kab与3ab平行？3.已知a是非零向量，abac，且bc，求证：()abc。题型14.三点共线问题1.已知(0,2)A，(2,2)B，(3,4)C，求证：,,ABC三点共线。62.设2(5),28,3()2ABabBCabCDab，求证：AB