2011届高三数学一轮复习5-5数列的综合应用随堂训练理苏教版

第5课时数列的综合应用一、填空题1．一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部各册书，公元年代之和为14035，则出齐这套书的年份是________．解析：设出齐这套书的年份是x，则(x－12)＋(x－10)＋(x－8)＋…＋x＝14035，x＝2011.答案：20112．数列{an}前n项和Sn与通项an满足Sn＝nan＋2n2－2n(n∈N*)，则a10－a100的值为________．解析：∵Sn＝nan＋2n2－2n，①∴当n≥2时，Sn－1＝(n－1)an－1＋2(n－1)2－2(n－1)．②①－②得an＝nan－(n－1)an－1＋2(2n－1)－2，整理得an－an－1＝－4，即{an}为公差为－4的等差数列，∴a10－a100＝(100－10)×4＝360.答案：3603．数列{xn}满足x1＝1，x2＝23，且1xn－1＋1xn＋1＝2xn(n≥2)，则xn等于________．解析：由x1＝1，x2＝23，1xn－1＋1xn＋1＝2xn(n≥2)得：1xn－1xn－1＝1xn＋1－1xn，{1xn－1xn－1}组成常数列，首项1x2－1x1＝12，1xn－1xn－1＝12，1xn＝1x1＋n－12＝1＋n－12＝n＋12，∴xn＝2n＋1.答案：2n＋14．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)－na2n＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式是an＝________.解析：(n＋1)－na2n＋an＋1an＝0，即为(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0，而an＞0，an＋1＞0，∴an＋1＋an≠0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0，即an＋1an＝nn＋1，∴an＝a1·a2a1·a3a2·a4a3…anan－1＝1·12·23·34·…·n－1n＝1n.答案：1n5．(苏州市高三教学调研测试)命题P：“在等比数列{an}中，若a42a10a()＝64，则数列{an}的前11项的积T11为定值”．由于印刷问题，括号处的数模糊不清，已知命题P是真命题，则可推得括号处的数为________．解析：由等比数列性质有a1·a11＝a2·a10＝…a26，所以T11＝a1·a2·…·a11＝a116，若命题P为真命题，则有|a6|为定值，a42·a10·an＝(a6q－4)4a6q4a6qn－6＝a66qn－18＝64，所以当n＝18时，|a6|＝2为定值．答案：186．(江苏省高考命题研究专家原创卷)若数列{an}(n∈N*)的递推关系式为如下的伪代码所示，则a2010＝________.解析：由题意，得数列{an}的递推关系式为a1＝67，an＋1＝2an(0≤an≤1)，a－1n(an1).所以a2＝127，a3＝57，a4＝107，a5＝37，a6＝67.由此，数列{an}的项的大小具有周期性，且周期为5.又2010＝402×5，所以a2010＝a5＝37.答案：377．(江苏省高考命题研究专家原创卷)将给定的25个数排成如图所示的数表，若每行5个数按从左至右的顺序构成等比数列，每列的5个数按从上到下的顺序也构成等比数列，且表正中间一个数a33＝1，则表中所有数之积为________．解析：特值法处理，不妨令表中各数均为1，显然是符合题设要求的一个数表，这时，表中各数之积为1，所以所求的答案为1.答案：1二、解答题8．一个球从100m高处自由落下，每次着地后跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，共经过的路程是多少？(精确到1m)解：由题意知，球第一次着地时经过的路程是100m，从这时到球第二次着地时共经过了2×1002m，从这时到球第三次着地时共经过2×10022m，…到第10次时应为2×10029m.∴S10＝100＋2×1002＋2×10022＋…＋2×10029＝100＋1001＋12＋…＋128＝100＋100×1－1291－12≈300(m)．即共经过的路程为300m.9．假设某市2008年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年年底．(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2008年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.(1.085≈1.47)解：(1)设中低价房面积构成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列．其中a1＝250，d＝50，则Sn＝250n＋n(n－1)2×50＝25n2＋225n.令25n2＋225n≥4750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，∴n≥10.∴到2017年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．(2)设新建住房面积构成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列．其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×1.08n－1.由题意可知an＞0.85bn，有250＋(n－1)·50＞400×1.08n－1×0.85.由1.085≈1.47解得满足上述不等式的最小正整数n＝6，∴到2013年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.10．(江苏省高考命题研究专家原创卷)已知数列{an}中，a1＝12，点(n,2an＋1－an)在直线y＝x上，其中n＝1,2,3，….(1)令bn＝an＋1－an－1，求证：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项；(3)设Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列Sn＋λTnn为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．(1)证明：由已知得：a1＝12，2an＋1＝an＋n，∴a2＝34，a2－a1－1＝34－12－1＝－34，又bn＝an＋1－an－1，bn＋1＝an＋2－an＋1－1，∴bn＋1bn＝an＋2－an＋1－1an＋1－an－1＝an＋1＋n＋12－an＋n2－1an＋1－an－1＝an＋1－an－12an＋1－an－1＝12，∴{bn}是以－34为首项，以12为公比的等比数列．(2)解：由(1)知，bn＝－34×12n－1＝－32×12n，∴an＋1－an－1＝－32×12n，∴an－an－1－1＝－32×12n－1，an－1－an－2－1＝－32×12n－2，…a3－a2－1＝－32×122，a2－a1－1＝－32×12，将以上各式相加得：an－a1－(n－1)＝－3212＋122＋…＋12n－1，∴an＝a1＋n－1－32×121－12n－11－12＝12＋(n－1)－321－12n－1＝32n＋n－2，∴an＝32n＋n－2.(3)存在λ＝2，使数列Sn＋λTnn是等差数列．由(1)(2)知，Sn＋λTnn＝n(n＋1)2－2n－2Tn＋λTnn＝n－32＋λ－2nTn，又Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝－341－12n1－12＝－321－12n＝－32＋32n＋1，Sn＋λTnn＝n－32＋λ－2n－32＋32n＋1，所以当且仅当λ＝2时，数列Sn＋λTnn是等差数列．1．已知正数组成的等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7·a14的最大值为________．解析：由S20＝100得a1＋a20＝10，∴a7＋a14＝10.又a7＞0，a14＞0，∴a7·a14≤a7＋a1422＝25.答案：252．用分期付款的方式购买一批总价为2300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%.若从首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批住房实际支付多少万元？解：购买时付款300万元，则欠款2000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的数额顺次构成数列{an}，故a1＝100＋2000×0.01＝120(万元)，a2＝100＋(2000－100)×0.01＝119(万元)，a3＝100＋(2000－100×2)×0.01＝118(万元)，a4＝100＋(2000－100×3)×0.01＝117(万元)，…an＝100＋[2000－100(n－1)]×0.01＝120－(n－1)＝121－n(万元)(1≤n≤20，n∈N*)．因此{an}是首项为120，公差为－1的等差数列．故a10＝121－10＝111(万元)，a20＝121－20＝101(万元)．20次分期付款的总和为S20＝(a1＋a20)×202＝(120＋101)×202＝2210(万元)．实际要付300＋2210＝2510(万元)．即分期付款第10个月应付111万元；全部贷款付清后，买这批住房实际支付2510万元．