0910高等数学B(一)试题解答

CH1-3一元函数微分学一、基本概念:极限:连续:导数：微分：定义、性质、无穷小(替换)、两准则两极限定义式、三个条件、单侧连续、间断点的分类定义式、几何意义、求导公式与法则(复合)二、关系:极限存在连续可导可微定义式、几何意义、求微公式与法则(复合)三、计算:3.:定义求导（分段点）求导数复合函数求导隐函数求导及参数的二阶导数...)(:.4微分形式的不变性复合求微分dxxfdy；包含洛必达法则列的极限用各种方法求函数及数)(.1间断点的类型；求函数的间断点及判断.2判断单调性凹凸性拐点求函数的驻点极值最值,.5四、应用:;..:.1凹凸性及最值等证法单调性定理利用证明不等式lagrange;.:.2单调性及介值定理等定理利用研究方程根的问题Rolle..3（求驻点等）实际应用中的最值问题CH4-6一元函数积分学一、基本概念:二、计算:定义、性质(定)、意义、常用恒等式分部积分三角代换凑微分基本积分公式不定积分.1（注意结果中的常数C）2.牛顿莱公式定积分换元法分部积分（注意对称性的应用）三、应用:、弧长；平面图形的面积、体积几何:.1(1)平面图形的面积badxxfxfA)]()([12直角坐标情形21)()(ttdtttA参数方程dA2)]([21极坐标情形(2)体积dxxfVba2)]([dyyVdc2)]([dxxfxVbay)(2badxxAV)(平行截面面积为已知的立体的体积(3)平面曲线的弧长xoyabxdxxdydxysba21A．曲线弧为)(xfy)()(tytx)(t弧长dttts)()(22B．曲线弧为C．曲线弧为)()(rr弧长drrs)()(22CH12微分方程二、基本计算:求解方程:一阶方程可分离变量、齐次、一阶线性；()():()(,)(,)nyfxyfxyyfyy可降阶的二阶、、；齐次、非齐次二阶线性方程:三、应用:.)(及其相关问题求曲线xf一、基本概念:微分方程的解;类型;特解形式高等数学0910B试题1.()(ln).fxfx设函数的定义域是[0,1],则定义域是一、填空题（每小题3分，共18分）分析0ln1,x知识点：复合函数的定义域1xe[1,]e2.,_______.xyxy已知则一、填空题（每小题3分，共15分）解lnln,yxx知识点：对数求导法1,=lnyxy(ln1).xyxx__xxen函数的带有佩亚诺型余项的阶麦克劳林公式为。1()(1)!innixoxi32()2!1!nnxxxxoxn211(1())2!1!nxnxxxexxoxn另解:()()()e,kxfxxn()(0)(1,2,)kfnk()(+1)e,xfxx()(+2)e,xfxx32()()2!1!nnxxfxxxoxn)0(fxf)0(2!2)0(xfnnxnf!)0()(麦克劳林公式解:3.4.37211()cos()______.fxxxxfxdx已知，则一、填空题（每小题3分，共15分）解知识点：对称区间上奇偶函数的积分性质原式1122102xdxxdx235.sin210()arctan20.xxexxfxaexa设在原点处连续，则一、填空题（每小题3分，共15分）解知识点：连续函数的定义，洛必达法则,等价无穷小替换sin001sinlim=lim2arctan22xxxexxx2.aa22 xyyxe微分方程的特解形式为_____.6.知识点：微分方程的特解解：特征方程为：220,rr解得：120,2,rr本题2,2是单根，*2()xyxAxBe设22().xAxBxe22().xAxBxe1.  []sin        01sin21ln||           .  xxxxxABCDx当时，下列变量中是无穷小量的是、、、、二、选择题（每小题3分，共15分）解知识点：无穷小的概念，:Ckey00lim(21)21=0 =xx2.下列函数中，是同一函数的原函数的是.二、选择题（每小题3分，共15分）解知识点：原函数的概念,导数公式22(),log2;()arcsin,arccos;ln2()arctan,cot;()ln(5),ln5ln.xxAeBxxCxarcxDxx:Ckey1()0xfxexfx设,则是的.知识点：函数间断点的类型，();();();().ABCD可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点3.10limxxe解:Ckey1()()lim.().().(,())().()xafxfxxaxaAxafxBxafxCafayfxDxayfx设在处有二阶导数，且，则（）是的极大值点；是的极小值点；；是的拐点；是的拐点。解：4.根据极限的保号性，存在,00,xa当时axa故当时，()0;fxaxa当时，()0,fx()xafx是的极大值点.A1()()lim.().().(,())().()xafxfxxaxaAxafxBxafxCafayfxDxayfx设在处有二阶导数，且，则（）是的极大值点；是的极小值点；；是的拐点；是的拐点。解：4.10(),fa()xafx是的极大值点.A1()lim,xafxxa()fxxa在处有二阶导数，()fxxa在处连续，(,())().afayfx不是的拐点5.  (())()xfxyfe设可导，且，则二、选择题（每小题3分，共15分）解知识点：一阶微分形式不变性，()();()();()();(().)xxxxxxxAdyfedxBdyfeedxCdyfedeDdyfee:Ckey()()xxxxdyfeedxfedeC解：特征方程为：20,rprq把特征根121,2rr分别代入特征方程，得3,2.pq6.211 0(,),[]xxypyqypqyeyepq若方程均常有特解，，取值为为实数则10420pqpq解得()1,2;()2,3;()2,1;()3,2.ApqBpqCpqDpqDsin()1.yxyyxx求满足初始条件的特解三、（9分）解知识点：一阶线性微分方程的解法，常数变易法：先解10.yyx分离变量：dydxyx.Cyx积分得().uxyx令常数变易：,2xuxuy则代入非齐次方程得：xxxuxuxusin22cosuxC解得1(cos).yxCx故原方程通解为()1y把代入通解，得1.C1(cos1).yxx故特解为sin()1.yxyyxx求满足初始条件的特解三、（9分）另解知识点：一阶线性微分方程的解法，()1y把代入通解，得1.C1(cos1).yxx故特解为,1)(xxP,sin)(xxxQdxxey1CdxexxexxlnlnsinCdxxxxxsin1.cos1CxxCdxexxdxx1sin代入公式：1.040(sincos)lim.xxtttdtx四、计算题（每小题9分，共36分）解知识点：求函数的极限,洛必达法则，原式30sincos=lim4xxxxx20coscossin=lim12xxxxxx1=120sin=lim12xxx20()cos()1xyxyyxexyedydx设函数由方程确定，求.2.解:把方程两边分别对x求导,得2(2)sin()()0xyeyxyyxy222sin()sin()xyxydyeyxydxexxy=0x把带入原方程，得1,y知识点：隐函数求导方法02|2.xdyedxe3.xedx解知识点：不定积分的性质，第二换元积分法令则于是,tx.2,2tdtdxtxdttedxetx2Cxex)1(22(1)tetC知识点：反常积分，定积分的应用，旋转体的体积，000().,xyexyx求曲线与围成的右边无限伸展的图形绕轴旋转一周所得立体的体积4.+20πdVyx解+20πdxex2+0π|2xeπ.2五、解答题（每小题10分，共20分）1.解20101(),yxxPPxx在抛物线上找一点，使经过的水平直线与抛物线和直线围成的区域的面积最小．2(,)Ptt设点的坐标为所求面积ABSSS2420,sttAB122220()()tttxdxxtdx3313tt324133tt31133t32tt令11228220|()|.ttSt12.t故得唯一的驻点1124(,)P故面积最小时点的坐标为所以是唯一极小值点，也是最小值点.12t22300()()ykxkx已知函数，，(1)求函数的拐点；2.解：232(3)2412,ykxxkxkx2121212(1)(1),ykxkkxx0y12,1,1(.xx得舍去）令11yx在的两侧变号，曲线的拐点.1(1,4)4(1)8所以过点的法线方程为kYkXk若法线通过原点(0,0)将其代入方程，得(1,4)k为2.8所以当时，曲线在拐点处的法线通过原点k1|8,xyk切线斜率2 k（）求过拐点的法线方程；若法线过原点，试确定的取值．2.8k（负值舍去）六、证明题（5分）解：000()()(0)limlimlim0xxxfxfxfxxxx()(),Fxfxx设0()lim1()0(0),(0)0)12.(已知且对任意，；（）求的值；（）证明当时，xfxxfxxffxfxx()0()，所因为对任意，以处处连续可导.xfxfx00()(0)()(0)limlim1xxfxffxfxx()()1,Fxfx则()()0,Fxfx().单以加所调增Fx0()(0).(0)10xFxFf当时，()()(0)0,FxfxxF所以().0xfxx当时，().单所以调增加Fx高等数学各部分所占比例导数和微分及其应用：46积分及其应用：42极限与连续：12用到洛必达法则的题目：16高等数学考察的内容有收敛数列的性质：数列极限存在与数列有界的关系无穷小的比较：等价无穷小连续函数：连续函数的定义，间断点的类型导数与微分：导数的四则运算，复合函数求导，参数方程求导，微分的计算导数的应用：洛必达法则，单调区间，凹凸区间，拐点，极值，切线方程，罗尔定理，不定积分：不定积分的直接积分法，微分运算与不定积分的关系，不定积分的第二换元积分法，定积分及其应用：对称区间上的积分，被积函数含绝对值的情况，分部积分法，换元积分法，平面图形的面积，旋转体的体积.