1999年全国高中数学联赛试题及解答

1999年全国高中数学联赛冯惠愚-1-一九九九年全国高中数学联合竞赛第一试(10月10日上午8:00-9:40)一．选择题：（每小题6分）1．给定公比为q(q≠1)的等比数列{an}，设b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,bn=a3n-2+a3n-1+a3n,…则数列{bn}()(A)是等差数列(B)是公比q为的等比数列(C)是公比为q3的等比数列(D)既非等差数列又非等比数列2．平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么满足不等式(|x|－1)2+(|y|－1)22的整点(x，y)的个数是()（A）16（B）17（C）18（D）253．若(log23)x－(log53)x≥(log23)－y－(log53)－y，则()（A）x－y≥0（B）x+y≥0（C）x－y≤0（D）x+y≤04．给定下列两个关于异面直线的命题：命题1：若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么c至多与a,b中的一条相交。命题2：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条是异面直线。那么()(A)命题1正确，命题2不正确(B)命题2正确，命题1不正确(C)两个命题都正确(D)两个命题都不正确5．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场，那么在上述3名选手之间比赛的场数是()(A)0（B）1（C）2（D）36．已知点A（1，2），过点（5，-2）的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B，C，那么△ABC是()（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）答案不确定一、填空题：(每小题9分)1、已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么这样的n的个数是．2、已知θ=arctan512，那么复数z=cos2θ+isin2θ239+i的辐角主值是．3、在△ABC中，记BC=a,CA=b,AB=c,若9a2+9b2－19c2=0,则cotCcotA+cotB=．4、已知点P在双曲线x216－y29=1上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么P的横坐标是．5、已知直线ax+by+c=0中的a，b，c是取自集合{－3，－2，－1，0，1，2，3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么这样的直线的条数是．6、已知三棱锥S－ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，二面角H－AB－C的平面角等于30°，SA=23，那么三棱锥S—ABC的体积1999年全国高中数学联赛冯惠愚-2-为．三、（本题满分为20分）已知当x∈[0，1]时，不等式x2cosθ－x(1－x)+(1－x)2sinθ0恒成立，试求θ的取值范围。四、（本题满分20分）给定A（－2，2），已知B是椭圆x225+y216=1上的动点，F是左焦点，当|AB|+53|BF|取最小值时，求B的坐标。五、（本题满分20分）给定正整数n和正数M，对于满足条件a21+a2n+1≤M的所有等差数列a1，a2，a3，…，试求S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值。1999年全国高中数学联赛冯惠愚-3-第二试一、(满分50分)如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G．求证：∠GAC=∠EAC.二、(满分50分)给定实数a，b，c，已知复数z1，z2，z3满足：|z1|=|z2|=|z3|=1，z1z2+z2z3+z3z1=1．求|az1+bz2+cz3|的值．三、(满分50分)给定正整数n，已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3,…,n克的所有物品。（1）求k的最小值f(n)；（2）当且仅当n取什么值时，上述f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你的结论。ABCDEFG1999年全国高中数学联赛冯惠愚-4-一九九九年全国高中数学联赛解答第一试一．选择题：（每小题6分）1．给定公比为q(q≠1)的等比数列{an}，设b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,bn=a3n-2+a3n-1+a3n,…则数列{bn}()(A)是等差数列(B)是公比q为的等比数列(C)是公比为q3的等比数列(D)既非等差数列又非等比数列解：由题设，an=a1qn－1，则bn+1bn=a3n+1+a3n+2+a3n+3a3n－2+a3n－1+a3n=a3n+1(1+q+q2)a3n－1(1+q+q2)=q3．因此，｛bn｝是公比为q3的等比数列．故选C2．平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么满足不等式(|x|－1)2+(|y|－1)22的整点(x，y)的个数是()（A）16（B）17（C）18（D）25解：由（|x|－1)2+(|y|－1)22,可得(|x|－1,|y|－1)为(0，0)，(0，1)，(0，－1)，(1，0)或(－1，0).从而，不难得到(x,y)共有16个．选A3．若(log23)x－(log53)x≥(log23)–y－(log53)－y，则()（A）x－y≥0（B）x+y≥0（C）x－y≤0（D）x+y≤0解：记f(t)=(log23)t－(log53)t，则f(t)在R上是严格增函数．原不等式即f(x)≥f(－y)．故x≥－y，即x+y≥0．选B．4．给定下列两个关于异面直线的命题：命题1：若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么c至多与a,b中的一条相交。命题2：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条是异面直线。那么()(A)命题1正确，命题2不正确(B)命题2正确，命题1不正确(C)两个命题都正确(D)两个命题都不正确解：如图，c与a、b都相交；故命题Ⅰ不正确；又可以取无穷多个平行平面，在每个平面上取一条直线，且使这些直线两两不同向，则这些直线中的任意两条都是异面直线，从而命题Ⅱ也不正确．选D5．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场，那么在上述3名选手之间比赛的场数是()(A)0（B）1（C）2（D）3解：设这三名选手之间的比赛场数是r，共n名选手参赛．由题意，可得50=C2n－3+r+(6－2r)，即12(n－3)(n－4)=44+r．由于0≤r≤3，经检验可知，仅当r=1时，n=13为正整数．选B．6．已知点A（1，2），过点（5，－2）的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B，C，那么△ABC是()1999年全国高中数学联赛冯惠愚-5-（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）答案不确定解：设B(t2,2t),C(s2,2s),s≠t,s≠1,t≠1，则直线BC的方程为y－2t2s－2t=x－t2s2－t2，化得2x－(s+t)y+2st=0．由于直线BC过点(5，－2)，故2×5－(s+t)(－2)+2st=0，即(s+1)(t+1)=－4．因此，kAB·kAC=2t－2t2－1·2s－2s2－1=4(s+1)(t+1)=－1．.所以，∠BAC=90°，从而△ABC是直角三角形．二．填空题：(每小题9分)1、已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么这样的n的个数是．解：首项为a为的连续k个正整数之和为Sk=ka+12k(k+1)≥k(k+1)2．由Sk≤2000，可得60≤k≤62．当k=60时，Sk=60a+30×59，由Sk≤2000，可得a≤3，故Sk=1830,1890,1950；当k=61时，Sk=61a+30×61，由Sk≤2000，可得a≤2，故Sk=1891，1952；当k=62时，Sk=62a+31×61，由Sk≤2000，可得a≤1，故Sk=1953．于是，题中的n有6个．2、已知θ=arctan512，那么复数z=cos2θ+isin2θ239+i的辐角主值是．解：z的辐角主值argz=arg[(12+5i)2(239－i)]=arg[(119+120i)(239－i)]=arg(28561+28561i)=π4．3、在△ABC中，记BC=a,CA=b,AB=c,若9a2+9b2－19c2=0,则cotCcotA+cotB=．解：cotCcotA+cotB=cosCsinCcosAsinA+cosBsinB=sinAsinBcosCsin2C=abc2·a2+b2－c22ab=a2+b2－c22c2=59．4、已知点P在双曲线x216－y29=1上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么P的横坐标是．1999年全国高中数学联赛冯惠愚-6-解：记半实轴、半虚轴、半焦距的长分别为a、b、c，离心率为e，点P到右准线l的距离为d，则a=4,b=3,c=5,e=ca=54,右准线l为x=a2c=165．如果P在双曲线右支，则|PF1|=|PF2|+2a=ed+2a．从而，|PF1|+|PF2|=(ed+2a)+ed=2ed+2a2d，这不可能；故P在双曲线的左支，则|PF2|－|PF1|=2a,|PF1|+|PF2|=2d．两式相加得2|PF2|=2a+2d．又|PF2|=ed,从而ed=a+d．故d=ae－1=454－1=16．因此，P的横坐标为165－16=－645．5、已知直线ax+by+c=0中的a，b，c是取自集合{－3，－2，－1，0，1，2，3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么这样的直线的条数是．解：设倾斜角为θ，则tanθ=－ab0．不妨设a0，则b0．(1)c=0,a有三种取法，b有三种取法，排除2个重复(3x－3y=0,2x－2y=0与x－y=0为同一直线)，故这样的直线有3×3－2=7条；(2)c≠0，则a有三种取法，b有三种取法，c有四种取法，且其中任两条直线均不相同，故这样的直线有3×3×4=36条．从而，符合要求的直线有7+36=43条．6、已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，二面角H—AB—C的平面角等于30°，SA=23，那么三棱锥S—ABC的体积为．解：由题设，AH⊥面SBC．作BH⊥SC于E．由三垂线定理可知SC⊥AE，SC⊥AB．故SC⊥面ABE．设S在面ABC内射影为O，则SO⊥面ABC．由三垂线定理之逆定理，可知CO⊥AB于F．同理，BO⊥AC．故O为△ABC的垂心．又因为△ABC是等边三角形，故O为△ABC的中心，从而SA=SB=SC=23．因为CF⊥AB，CF是EF在面ABC上的射影，由三垂线定理，EF⊥AB．所以，∠EFC是二面角H-AB-C的平面角．故∠EFC=30°，OC=SCcos60°=2312=3，SO=3tan60°=3．又OC=33AB，故AB=3OC=3×3=3．所以，VS-ABC=1334323=943．OHAFBCES1999年全国高中数学联赛冯惠愚-7-三、（本题满分为20分）已知当x∈[0，1]时，不等式x2cosθ－x(1－x)+(1－x)2sinθ0恒成立，试求θ的取值范围。解：若对一切x∈［0，1］，恒有f(x)=x2cosθ－x(1－x)+(1－x)2sinθ0，则cosθ=f(1)0,sinθ=f(0)0.(1)取x0=sinθcosθ+sinθ∈(0，1)，则cosθx0-sinθ(1-x0)=0．由于f(x)=[cosθx-sinθ(1-x)]2+2(－12+cosθsinθ)x(1－x)．所以，0f(x0)=2(－12+cosθsinθ)x0(1－x0)．故－12+cosθsinθ0(2)反之，当(1)，(2)成立时，f(0)=sinθ0，f(1)=cosθ0，且x∈(0，1)时，f(x)≥2(－12+cosθsinθ)x(1－x)0．先在［0,2π］中解(1)与(2)：由cosθ0,sinθ0，可得