方俊鑫版固体物理习题解答(前45题)

49方一陆固物习题参考答案1、布格子：每个原胞内只有一个原子的晶格或组成晶体结构的基元之结点：如以Cl原子为结点，取面心立方晶胞，就是NaCl的布氏格子；2、金刚石结构中位于正四面体中心的原子和顶角上的原子化学组份虽相同，但电子云配置方位不同，所以是复式格子。两个面心相套4、基矢ckcjbbiaa,,晶面族（h，k，l）的面间距为d。令为相应的倒基矢***,,cba21222***,,***)()()(2)(222clbkahKdclbkahKcbaacccbbbaahklnkllkh对于正交晶系为h=1,k=1,l=0为简单指数时d100=a面间距较大的之一又因为某个晶体的原胞体积总是不变的，原胞体积=dhkl·Ahkl；A为(h,k,l)晶面上面积元的面积（即h,k,l）晶面的二维晶格的原胞，晶格对应着固定的，但是h、k、l不同时，则对应着不同形状的二维原胞，dhkl愈大，则Ahkl愈小，密度一定，A小，面密度大；因d大，二晶面互作用弱，易解理。所以解理面一般总是沿面密度大的(h,k,l)面解理，即解理面，一般是简单指数的晶面。5、对六角密堆积结构固体物理学原胞基矢如kcajiaajaiaa32123223250求倒子基矢：解：;,213aaajaiaajaiaaaaa2322322121ajaiacaiacjaabcaaaaakca1322)32(2233212321332,:bb同理可得7、把等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大体积和总体积之比。解：（1）简立方a=2r6833343334rrar比83)(234)(2)2(33433421222rraraaarrr比体对角线体对角线体心立方（3）面心立方晶胞面对角线=4r23832)8(48162333422rrrara比（4）六角密积232)(422)38(2:232138223334212216rrrrcrarcaCAAOA比为球之半径令原胞体积YX3a1a2aijk简立方a面心立方体心立方51（5）金刚石：参考P19图四面体原子互相接触，四面体所决定的立方体边长为2a，比立方体的体对角线为4r，则由图2222222)()()()4(aaar1634438)461(338334333421321aaar比8、（x-射线）如x射线沿简立方晶胞的oz方向入射，求证：当222lkla和22222kklCos时，衍射线在yz平面上，其中2是衍射线和oz方向的夹角。解：入射线0S和衍射S之间夹角为22dsin=n令n=1（1）简立方面间距为：21222)(lkhadhkl（2）因衍射线和入射线必在一个平面内，（已知条件之一）222222)sin21(2cos)2cos(coskkl得21222sinkll（3）由（1）、（2）、（3）得212222122)()(2hklklla（4）。面上必在所以衍射线轴射线令轴垂直法线与面即轴面必须平行的而可知必须式对比上式与还必须满足第二条件和但衍射线的DEQYZSOZSNoxokloxlkhhhlklaNa,,,//,)(,),,(0,0,)4(20229、(x射线)在氯化钾晶体中，k+在0,0,0;;21,21,0;21,0,21;0,21,21诸点；Cl-在0s)(衍射线s2252,0021,0210,212121诸点，试对衍射线面指数和衍射纯度的关系。解：Clk是复式格子2122*2;)(2sin)(2cosfffflwkvhunflwkvhunfFFFIclkjjjjjjjjjjhkhkhkhkl令221221sinsinsin)(sin)(sin)(sin)(sin0coscoscos)(cos)(cos)(cos)(cos1hnknnlkhnflknlhnkhnfhnknlnlkhnflknlhnkhnfIhk讨论：大。其中全为偶数时强度最衍射不为全为奇或全为偶当一个为偶数时中有二个为奇数当其它两个为偶数时中有一个为奇数当不必考虑的部分为包括只为整数时当,0,,,)4(;0,,,,)3(;0,,,)2(;,0)(sin,,,)1(nlnknhInlnknhInlnknhlkhnlkh10、（米勒指数）六角晶系中见P343，晶面常用四个指数(h,k,l,m)表示，它们代表一个晶面在六角形半面基矢321,,aaa轴上的截距为lakaha321,,；在六度轴上的截距为mc，试写出654321522313131,,'0AAAAAAABABBAAAA和的面指数。)1211(,1,21,1,10:31面指数为的截距为解AA)1000(1,,,)0011(,,1,1)0211(,21,1,165432155221331面指数为的截距为面指数为的截距为面指数为的截距为AAAAAAABBABBAA补充1：试画出面心立方晶体（112）面上的原子分布图，并求出这个晶面上的二维晶胞基矢。53akcajbcbaccfaia,,..:晶胞的基矢为令解;21,0,0,0,21,21,)211(点为点为其中晶面为平面CDABCD。恰是立方晶胞的体心点移到移到原点点则线如何上平移把DDCaCD,21,21,21,0,21表示它的长短和方向用间距即体对角线原子最近的原子距晶面内在线三因为晶列的全同性晶到族中的一个晶列线是1,.])211([,]111[aDDCCD)(1kjiaa，它即是（112）面上二维晶胞基矢之一，以DA为二维晶胞的另一基矢2a，显然)(22jiaaaaaaaaaa2230212121因这是一个长方形二维晶胞，以此晶胞在平面ABCD上做周期重复，即得（112）面上的原子分布。[注]：（1）21,aa晶面是（112）晶族中通过原点0的那个晶面，因为族中所有晶面都是完全相同的，所以研究晶面族中任意的一个就可以了。（2）（112）晶面上的其它形状的原胞，不能直接显示这个二维晶面上的原子分布的正交对称性，但也可以得出同样的（112）上的原子分布图。第五章习题参考答案23、限制在边长为L的正方形中的N个自由电子，电子的能量)(2),(222yxyxkkmkkEakc1aajaja2aajbc54（i）求能量E到E+dE之间的状态数（ii）求此二维系统在绝对零度的弗米能量解：（i）采用周期边鲜条件LAAeyxkkEyxyxmykxkiyxyx1),(),(),(2][2222由LnkeyxyLxxxLikx21),(),(1得为整数得yxyyikyLnnLnkeyxLyx,21),(),(mkkkmkkEyxyx2)(2),(22222每个K矢在R空间占体积为22)2(LkkyxE到E+dE间的状态，在k空间内的体积为,2kdk在其中的状态数为：kdkLdz24222由于dEmLdEmLdzkdkmdE22222222242,所以令22mLC（ii）oFEooFCEdECNdECEfdN)(NmLCNEF22026、一维周期势场中电子的波函数)(xk应当满足Bloch定理，若晶格常数是a，电子波函数为)()()()(3cos)()(sin)()(是某个确定的函数faxfxiiiaxixiiaxxikkk55试求电子在这些状态下的波矢解：(i)按Bloch定理：)()()()()()()()()(xUexxUeaxxUaxUaxUeaxkikxkkikakkkkaxikk因为akkaeaxeaxaaxaxaxaaxxikaikak;1;sin)(sinsinsin)(sin;sin)((ii)xaixaiaxai3cos33cos)(3cosakkaeaieaxaiikaika1;3cos)(3cos(iii)alxfaaxf)1()()()(axfaxf1);()(ikaikaeaxfeaaxfaokoka2228、电子在周期势场中的势能bnaxbaobnaxbnanaxbmxV)1()()(22221当当a=4b，为常数试画出此势能曲线，并求势能平均值。解：势场周期=a=4b2221bm56225322230532222161588)4(41)(bmdxbbxxbmdxbxbmodxbxVbbbbb29、用近自由电子模型处理28题，求此晶体的第一个及第三个禁带宽度。解：适当选取，位置座标原点，则研究（-2b,2b）间隔的V(x)，即令n=0bxbbxbxbmbxbxV20)(20)(22221则V(x)为偶函数，展开为富利叶级数将只有余弦项222222222223222221222222221221222cos)(216)1(222cos)(22cos)(22cos)(12cos)(226;2cos)(bmxdxbxbbmVbmbbbbbmdxbxxbbmVdxbxnxbbmdxbxnxbmbdxbxnxVbVnbmVbxnVnVxVboboboboboono30、已知一维晶体的电子能带可写成)2coscos()(818722kakamakE式中a为晶格常数，试求：(i)能带宽度(ii)电子在波矢k时的速度(iii)能带底和顶的有效质量解：(i)0dkdE可解得：572cos;sin0cossin21sin;02sin41sinkaokakakakakaka因为ka为实数，若只有sinka=0存在，则ka=n；222,;0)(,0,1;0,0maaEakoEkaknkn时时能带宽222ma法二：（ii）)2sinsin(11)(8222kakaamadkdEkVa)2sin(sin41kakama（iii）)2cos21(cos;12221*222kakamdkEdmdkEd58带底位于mkmokm21)0(21*22带顶位于makmakm321)(2321*22