定积分的微元法

4.7定积分的应用一、微元法二、平面图形的面积三、旋转体的体积复习:1、定积分的概念2、微积分基本公式3、定积分的计算曲边梯形面积变速直线运动路程定积分概念badxxf)(0limni1nixi321，，}max{iixf)(极限和式微积分基本公式)()(|)()(aFbFxFdxxfbaba定积分的计算奇偶性积分法分部第二类换元法第一类换元法换元法直接法1.学习目标:用定积分表示可以无限累加的量例如:平面图形的面积,旋转体的体积;变力做功,液体的压力等2.思想方法:微元法一、微元法求曲边梯形面积的四步骤：（1）分割:把区间[a，b]分成个n小区间；（2）近似代替：（3）求和：（4）取极限：iiixfA)(niiixfA1)(badxxf)(0limni1iixf)(nixi321，，}max{abxyoiix1x1ix1nx12badxxf)(只与积分区间和被积函数有关1.积分区间----------关键:2.积分表达式----------dxxf)(iixf)(iix令iixxf)(去下标xxf)(?小区间上的近似值],[1iixxiiixxx1],[11iiixxx去下标],[xxx],[dxxx],[ba?变量的范围dxxf)(abxyo)(xfy若用A表示任意小区间],[dxxx上的窄曲边梯形的面积，则A的近似值为dxxfdA)(.xdxxdA面积微元任意小区间badxxfA)(微元法的步骤：1、确定积分变量，并求出相应的积分区间],[ba2、在区间上任取一小区间，并],[ba],[dxxx在该小区间上找出所求量的近似值UdxxAdU)(3、写出所求量的积分表达式，UbadxxAU)(然后计算它的值.二、平面图形的面积例1.计算两条抛物线在第一象限所围图形的面积.xxy2oy2xyxxxd解:由得交点)1,1(,)0,0()1,1(1xxxAdd23110Adxxgxf)]()([),()(xgyxfy与计算由区间[a,b]上的两条连续曲线以及两条直线x=a与x=b所围成的平面图形的面积。由微元法，取x为积分变量，其变化范围为区间[a,b]，任意一个小区间[x,x+dx]上，面积近似值ayxbOxy=f(x)x+dxy=g(x)Ad.)]()([xxgxfAbad计算抛物线和直线所围图形的面积.学生练习:xxy22oy4xy例2.计算抛物线xy22与直线的面积.解:由得交点)4,8(,)2,2()4,8(yyyAd)4(d221184xy所围图形)2,2(为简便计算,选取y作积分变量,则有yyyd42A类似地可得，由区间[c,d]上的两条连续曲线与，（当）以及两直线与所围成的平面图形的面积为)(yx()xy[,],()()ycdyycydydcdyyyA)]()([xoycdyy+dy()xy()xy计算抛物线和直线所围图形的面积.学生练习:旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台三、旋转体的体积一般地，如果旋转体是由连续曲线)(xfy、直线ax、bx及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？],[bax在],[ba上任取小区间],[dxxx，取以dx为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为体积元素，dxxfdV2)]([xdxxxyo旋转体的体积为dxxfVba2)]([)(xfy取积分变量为x例3.求由曲线,直线x=1及x轴所围成的平面图形xy解120()xVxdx绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积.10xdx1022xxyoyx由旋转体的体积公式,得如图,选x为积分变量2类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yx、直线cy、dy及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为xyo)(yxcddyy2)]([dcV小结:1.微元法2.平面图形的面积:.)]()([dxxgxfAba下上dcdyyyA)]()([左右],[badxxAdU)(badxxAU)(3.旋转体的体积:22[()()]bxaVfxgxdx下上22[()()]dycVyydy右左