高等数学 第一节 对弧长的曲线积分 第二节 对坐标的曲线积分

1第一节对弧长的曲线积分126P)()()(tzztyytxx:的方程为曲线Lbta的方向光滑曲线的切向量)(,)(,)(tztytxt:光滑曲线.)(,)(,)(数有不同时为零的连续导如果tztytx.是连续变化的2),,(zyxP),,(zdzydyxdxQdL:的弧微分光滑曲线L222zdydxdd)(弧长微分:的光滑曲线L有向弧微分),,(zdydxddd),,(zyxP),,(zdzydyxdxQL3.,),,(mzyxL求曲线的质量的线密度设曲线:上的质量为弧长元素ddzyxmd),,(:的质量为曲线LLdzyxm),,(,L线此积分的积分范围是曲,称为第一类曲线积分Ld,L分割曲线.弧长的曲线积分对或)(14第二节对坐标的曲线积分预备知识:作功沿直线拖动物体常力ABGFABFWcosABF132PABF5d.,,WFBAL所作的功求力移到从沿曲线的作用下ABL做功力时通过弧段物体FdG,,BAG移到沿曲线从物体LdFW:做功力FF),,(,),,(,),,(zyxRzyxQzyxPFG在变力物体,L线此积分的积分范围为曲.称为第二类曲线积分)(2方向与有向弧微分分割曲线dL,.的方向一致到上从曲线BALdFdW6LzdzyxRydzyxQxdzyxPW),,(),,(),,(.)(式为对坐标的曲线积分所以又称2Ldzyxm),,()(1LdFW)(2:)(对弧长第一类曲线积分:第二类曲线积分),,(,),,(,),,(zyxRzyxQzyxPFzdydxdd,,:)(式得代入2LdzRdyQdxP)(3:)(对坐标.)(式的记法更常见37213LLLdszyxfdszyxfdszyxf),,(),,(),,()(:,在计算中常用的有全部性质曲线积分具有定积分的Ldszyxgzyxf)],,(),,([)(1LLdszyxgdszyxf),,(),,()(),,(),,()(常数kdszyxfkdszyxfkLL2)(21LLL8LLLdGdFdGF)(.1常数___.kdFkdFkLL2213LLLdFdFdF.)(21LLLLLdFdF.49:),,(的方法LsdzyxfIttzztyytxxL)()()(的方程为设tdzyxtztytxfI222)(,)(,)(),(必需为使0td.,化曲线积分为定积分使用参数方程222zdydxdsdtdzyx222弧微分计算曲线积分10:的方法计算曲线积分LdFI:)()()(ttzztyytxxL的方程为设LLRdzQdyPdxdFI则tdtzRtyQtxP)()()(tdtxtztytxPPdxL)()(,)(,)(特例.,,并不要求终点起点.,化曲线积分为定积分使用参数方程zyxRzyxQzyxPF,,,,,,又设ijk,)(,)(,)(tztytxPP其中11LsdyI1例上是抛物线2xyL之间的一段弧与),(),(1100AOoxyA解,:2xyL的方程为01x012221xdxxsdyL)(01241xdxx0123241121)(x55112122ydxdsdxdy21122例LyxsdeI22轴及为XxyayxL,222.的边界在第一象限内围成扇形022yxxOAyxsde1aeABayaxyxsdesincos22aea4xyxxOByxsde221ae解oxyAB141aaaeeaeI242aeaaxxde040daeaaxxde22022133例程为设螺旋形弹簧一圈的方taxcostaysinktz20t它的线密度222zyxzyx),,(zIZ轴的转动惯量它关于求)(:1xyz),,()(zyxP它的重心2LzsdzyxI),,(解20222222tdkatkaa322222832kakaa22yxsd14Lsdzyxm),,(2022222tdkatka32222832kakaLsdzyxmx),,(1x20222221tdkatkam2022202221tdttktdtakaamcoscos2220kkama2222222243324kakakkaa2222436kakattttttDDsincossincos022214tacos15Lsdzyxmy),,(120222221tdkatkamLsdzyxmz),,(120222221tdkatkamyztasintk16xorL:)(极坐标是平面曲线如果Lsin)(cos)(ryrx则drrrr22)cossin()sincos(drr22drrrfdrfL22),(),(d)(rrdrdddrdrr2222)()(drrdd22)()(drrd17的周长求心形线例)cos(14ara8Ld解2022drr202221daa)sin()cos(2022dacos2022dasin2024cosa18:小结tdzyxdtzztyytxx222)()()(tdyxdtyytxx22)()(dxfdxfyxxxfy21)()(dygdyyygxygx12)()(drrdrr22)(),(必需为使0tdtdzyxtztytxfdzyxfL222)(),(),(),,(t19求设力场例,),,(zyxxyF5,),,(),,()(caBLaA0001到点沿着螺旋线质点由点.1WF所作的功力沿质点由点),,()(002aA,),,(caBAB0到点直线段.2WF所作的功力LLzdRydQxdPsdFWtaxcostaysin2tcz:L20:tLzdzyxydxxdyW)(120tdzzyxyxxy)(解B终点A起点2020tdzzyxyxxy)(1W20)cos()cos()sin()sin(tatatatatdctctata22sincos20222422tdtcttcata)cos(sincos20224tdtc.22ctaxcostaysin2tcz:L21),,(),,(caBaA000的方程为线段ABcttzyax00:),,(zyxxyFLLzdRydQxdPsdFWctdzzyxyxxyW02)(ctdta0)(.22cca21WW注意?!AB22Lxdyx6例上是抛物线xyL2.::112yyyyxL解1122ydyyyxdyxL1142ydy54,::011xxyxxAOL又解xyABO,::102xxyxxOBL.),(),(的一段弧到从1111BA23不再保证,上限下限?为什么54,::011xxyxxAOL,::102xxyxxOBL21LLLxdyxxdyxxdyx01xdxx10xdxx.成为关于参数的定积分代入曲线积分使之写出曲线的参数方程方法小结,:24Ldxy27I例.),(),(00aBaAL到从,)(沿圆弧1.)(轴沿X2xyoAB222ayx:)(11L沿圆弧解sincosayax0:02221daaxdyLsinsin.334a,)(轴沿X202ytxL:.:aat.0022aaLtdxdy.,积分值不同积分路径不同25),(,I00822从是由抛物线例xyLxydydxxL.),(),(),,(的直线段组成到以及由到110011:),(),(.11100L的抛物线到从解121LydyxxdxI10422xdxx)(1511:),(),(21100L的直线到从1L2L102:xxyxx10222xdxxxxdx)(10:ttytx222LydyxxdxItdt102232.III15212126:ABZX平面上有光滑曲线例9,)()(tzztxxtB,tA,BAm移到的物体沿曲线从一质量为.W求重力所做的功oxzABAzBzmgABdFW解mgF,0ABzdmgxdW)(0tdtzmg)()(),(zdxdd)()(zzmgBAzzmg.,与高度差成正比重力做功与路径无关27,)(,)(,)(:tzztyytxxL有参数方程设.),,(zyxtL有切向量则),,(zdydxdtdzyx),,(tdzyxzyxzyx222222),,(dtd;),,(的单位切向量为其中Lzyxzyxt222.的弧长微分为Ltdzyxd222;平行与切向量有向弧微分dtd:表明公式dt.,相同的方向必须取与取正值为了保证dtd28LLzdRydQxdPdFLdtF第二类曲线积分第一类曲线积分)cos,cos,cos(,tt记为为单位切向量:系两类曲线积分之间的关LFdtLdRQPcoscoscosdtd:前页公式.相同的方向要与注意td29从上相应于为曲线设例ttztytx3210,,把对坐标的曲线积分的曲线弧变到,10LzdRydQxdPI.化成对弧长的曲线积分yxttt3213212,,,,.的切向量解22941321yxyxt,,单位切向量I,因此LdyxRyQxP2294132?!同方向与dtLdRQPcoscoscos30LydyxQxdyxPI),(),(把对坐标的曲线积分例11.化成对弧长的曲线积分xyx222为沿上半圆周其中L.),(),(1100到点从点xy2