解一元一次方程一典型例题

《解一元一次方程（一）》典型例题例1用适当的数或整式填空，使变形后的方程的解不变，并说明利用了解一元一次方程的哪一步骤．（1）若253x，则____3x（2）若314x，则____x（3）若6113121xxx，则611____例2解下列方程：（1）875x（2）5463xx（3）2828xx（4）454436yy（5）xx572（6）31278yyy例3已知五个连续整数中三个奇数的和比两个偶数的和多15，求这五个连续整数．例4某种商品的市场需求量D（千件）和单价P（元/件）服从需求关系：031731PD．（1）单价为4元时，市场需求量是多少？（2）若出售一件商品要在原单价4元的基础上加收税金1元，那么市场需求量又是多少？（3）商品原单价4元的，若出售一件商品可得政府的政策性补贴31元，于是销售商将货价降低31元，那么市场需求量又是多少？（4）若这种商品的进价是3元，则以上三种情况，销售商各获利多少元？例5甲、乙两站间的距离是360千米，一列慢车从甲站开出，平均每小时行驶48千米，一列快车从乙站开出，平均每小时行驶72千米．（1）若两车同时开出，相向而行，多少小时两车相遇？（2）若快车先开25分钟，两车相向而行，慢车行驶了多少小时后两车相遇？例6邮票不仅是邮资的一种体现方式，它还是一部小百科全书，融入了很多领域的知识，介绍了很多具有纪念意义的事件，具有收藏价值．小明很喜欢集邮，在他收集的邮票中有关植物的邮票共有181枚，其中花卉邮票的数量比树木邮票的数量的2倍少2枚，请你计算一下小明的花卉邮票和树木邮票各有多少枚？例7游泳是同学们喜爱的一项体育运动．红日游泳馆的票价是每人次30元．现推出每月60元优惠卡政策，当月凭卡购买门票的价格是18元，你知道哪种购票方式比较划算吗？参考答案例1分析：此题利用“移项”“合并同类项”“系数化为1”这三个步骤来完成．解：（1）2－5（或－3），利用了移项这一步骤．（2）)4(31（或121），利用了系数化为1这一步骤．（3）x31211（或x611），利用了合并同类项这一步骤．说明：①严格按照解一元一次方程的步骤解答．②熟练后，可按照括号内的数或整式填写．例2解：（1）移项，得785x合并，得155x系数化为1，得3x（2）移项，得6543xx合并，得1x1x（3）移项，得8282xx合并，得1010x系数化为1，得1x（4）移项，得434546yy合并，得22y系数化为1，得1y（5）移项，得752xx合并，得122x系数化为1，得24x（6）合并，得33y系数化为1，得1y说明：（1）“合并”的依据是分配律，即相同字母不变，将相同字母前的系数相加，这一过程中要注意字母系数的符号，在这个过程中要充分体会其作用；（2）“移项”的依据是等式的性质1，体会应用等式性质1的过程，注意“移项”时要改变此项原来的符号．总之，解方程的过程就是将方程变形为ax的过程，在解方程的过程中注意体会这种化归的数学思想．例3分析：一般常见的是设最大或最小的整数为x，但此题设中间的整数为x，简便多了．解：设中间的整数为x，则这五个连续整数从小到大为2,1,,1,2xxxxx，其中2,,2xxx为奇数，1,1xx为偶数，则根据题意，得15)1()1()2()2(xxxxx，化简后1523xx，移项得15x．所以，这五个连续整数为13，14，15，16，17．例4分析：（1）、（2）、（3）中只要将单价代入，通过解一元一次方程即可，（4）利用利润＝销售总额－进货总额计算．解：（1）当4P时，0317431D，移项化简后3531D，系数化为1，得5D（千件）．（2）当514P时，0317531D移项化简后，3231D，系数化为1，得2D（千件）．（3）当311314P时031731131D，移项化简后，231D，系数化为1，得6D（千件）．（4）在（1）中销售总额＝4×5000＝20000（元）进货总额＝3×5000＝15000（元）利润＝20000－15000＝5000（元）在（2）中销售总额＝4×2000＝8000（元）进货总额＝3×2000＝6000（元）利润＝8000－6000＝2000（元）在（3）中销售总额＝4×6000＝24000（元）．进货总额＝3×6000＝18000（元）利润＝24000－18000＝6000（元）所以，分别获利5000元，2000元，6000元．说明：①注意（2）（3）的销售价分别为5元，311元．②计算（2）中获利时，将税金不能考虑在内．③计算（3）中获利时，将政策性补贴考虑在内．例5解：（1）设两车行驶了x小时相遇，那么慢车行驶了48x千米，快车行驶了72x千米，得3607248xx合并，得360120x系数化为1，得3x答：两车行驶3小时后相遇．（2）设慢车行驶了x小时相遇，那么慢车行驶了48x千米，而快车先行驶了12572千米，又行驶了72x千米，得360721257248xx移项，得303607248xx合并，得330120x系数化为1，得432x答：慢车行驶了2小时45分后两车相遇．说明：在这个有关相遇的问题中所用到的相等关系是；慢车行程＋快车行程＝两站距离．准确的表示相关的量，统一单位后列方程，即构建方程解决实际问题．这是数学中的建模思想，在解题中注意体会．例6解：设树木邮票x枚，那么花卉邮票)22(x枚，则18122xx移项，得21812xx合并，得1833x系数化为1，得61x所以12022x答：小明的花卉邮票有120枚，树木邮票有61枚．说明：本题的解题过程中，用到的相等关系是：总量=各分量之和，所以要注意找准表示各分量的式子，建立正确的数学模型．例7解：设每月游泳x次，则不购买优惠卡要花去30x元，用优惠卡要花去)1860(x元．如果两种购票方式花去的钱一样，则xx186030移项，得601830xx合并，得6012x系数化为1，得5x由上可知，如果一个月内能游泳5次的话，两种购票方式花费一样，如果多于5次的话，应购买优惠卡，如果少于5次的话，则不要购买优惠卡．说明：这个问题是生活中常见的有关决策性的问题，往往先找到两种方式中，花费相同的次数，即“表示同一个量的两个不同的式子相等”作为相等关系，列方程求解，然后根据这个标准进一步判断，确定购票方案．