第五节 线性变换的矩阵表示式

线性变换在基下的矩阵主要内容举例线性变换在不同基下的矩阵的关系第五节线性变换的矩阵表示式上节例11中,关系式i=T(ei)(i=1,2,···,n)，···,n=Aen(e1,e2,···,en为单位坐标向量),即关系式来表示.为此,考虑到1=Ae1,2=Ae2,自然希望Rn中任何一个线性变换都能用这样的简单明了地表示出Rn中的一个线性变换.我们T(x)=Ax(xRn)一、线性变换在基下的矩阵可见如果线性变换T有关系式T(x)=Ax,那么矩T(x)=T[(e1,···,en)x]=T(x1e1+x2e2+···+xnen)=x1T(e1)+x2T(e2)+···+xnT(en)=(T(e1),T(e2),···,T(en))x=(1,2,···,n)x=Ax.系式换T使T(ei)=i(i=1,2,···,n),那么T必有关阵A应以T(ei)为列向量.反之,如果一个线性变总之,Rn中任何线性变换T都能用关系式有把上面的讨论推广到一般的线性空间,我们表示,其中A=(T(e1),···,T(en)).T(x)=Ax(xRn)定义6设T是线性空间Vn中的线性变换,,)(,)(,)(22112222112212211111nnnnnnnnnnaaaTaaaTaaaT在变换T下的象(用这个基线性表示)为在Vn中取定一个基1,2,···,n,如果这个基记T(1,2,···,n)=(T(1),T(2),···,T(n)),,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaA其中那么,A就称为线性变换T在基1,2,···,n下的矩阵.T(1,2,···,n)=(1,2,···,n)A，上式可表示为显然,矩阵A由基的像T(1),T(2),···,T(n),1niiixVn中的任意元素记为特性我们来推导变换T必须满足的关系式.变换T下的像,那么,根据变换T保持线性关系的1,2,···,n下的矩阵,也就是给出了这个基在如果给出一个矩阵A作为线性变换T在基唯一确定.于是有niniiiiiTxxT11)()(nnxxxTTT2121))(,),(),((,),,,(2121nnxxxA即)1(.),,,(),,,(21212121nnnnxxxAxxxT这个关系式唯一地确定一个变换T,可以验证以A为矩阵的线性变换T由关系式(1)唯一确定.所确定的变换T是以A为矩阵的线性变换.总之,定义6和上面一段讨论表明,在Vn中取定一n下的坐标分别为由关系式(1),可见与T()在基1,···,关系.T,A,由一个矩阵A也可唯一地确定一个线性变换个基以后,由线性变换T可唯一地确定一个矩阵这样,在线性变换与矩阵之间就有一一对应的,)(,2121nnxxxATxxx即按坐标表示,有T()=A.例12在P[x]3中,取基,22xp,31xp,3xp,14p求微分运算D的矩阵.二、举例解,00303D432121ppppxp,02002D43212ppppxp,00000D43214ppppp,10001D43213ppppp所以D在这组基下的矩阵为.0100002000030000A例13在R3中,T表示将向量投影到平面的线性变换,即xOy,)(jyixkzjyixT(1)取基为,,,kji求T的矩阵;(2)取基为,,,kjiji求T的矩阵.解(1),0,,kTjjTiiT即.000010001),,(),,(kjikjiT(2),,,jiTjTiT即.000110101),,(),,(T由上例可见,同一个线性变换在不同的基下依次为A和B,那么B=P-1AP.阵为P,Vn中的线性变换T在这两个基下的矩阵由基1,2,···,n到基1,2,···,n的过渡矩1,2,···,n.1,2,···,n;定理2设线性空间Vn中取定两个基有不同的矩阵.一般地,我们有三、线性变换在不同基下的矩阵的关系证按定理的假设,有(1,···,n)=(1,···,n)P,P可逆;及T(1,···,n)=(1,···,n)A,T(1,···,n)=(1,···,n)B.于是(1,···,n)B=T(1,···,n)=T[(1,···,n)P]=T[(1,···,n)]P=(1,···,n)AP=(1,···,n)P-1AP,因为1,···,n线性无关,所以B=P-1AP.证毕这个定理表明B与A相似,且两个基之间的过渡矩阵P就是相似变换矩阵.例14设V2中的线性变换T在基1,2下的矩阵为,22211211aaaaA求T在基2,1下的矩阵.解,0110),(),(2112即,01101P,0110P求得于是T在基(2,1)下的矩阵为0110011022211211aaaaB011012112221aaaa.11122122aaaa定义7线性变换T的像空间T(Vn)的维数,若T的秩为r,则T的核ST的维数为n-r.显然,若A是T的矩阵,则T的秩就是R(A).称为线性变换的秩.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.