大学力学总结复习

三、一个费曼喷水灭火,也称为费曼逆洒水车或作为一个反向洒水器,是一个喷头装置浸没在流体罐中,吸收周围的流体。这样的一个装置是一个激烈的话题,非常长寿的争论。一个普通喷头有喷嘴布置在一个自由的角度的旋转轮上,当水被泵出时,导致车轮旋转即是一个凯瑟琳轮和汽转球(“英雄引擎”)的工作原理一样。一个“反向”喷头将按照吸入周围流体将以何方向运动。问题是理论物理学家理查德·费曼提出,这个问题深受欢迎。你肯定是在开玩笑,费曼先生!。问题并非源于费曼,他也没有发布一个解决的办法。简化的费曼喷头马里兰大学的“反转喷头”的视图和侧视图(1)可将“正转喷头的问题”转换为旋转轮椅演示实验：一个实验者，两手各持一个哑铃，坐在一张转椅上，两臂伸出，由于实验者和哑铃被看作是一个不受外部转矩作用的封闭系统，所以角动量必然守恒，因此当他向某个方向旋转哑铃时，他的身体就会连同转椅向相反方向旋转。水和喷头也同样是一个未受外部转矩作用的封闭系统。因此，当水向某个方向运动时，喷头就必须向相反方向运动。在没有大阻力(或来自轴承或粘性)的情况下，人们都可观察到这一旋转。喷头在正转的情况就如同实验者沿水平方向扔出哑铃时的情形，他每扔出一个哑铃就获得一定的角动量。(2)可将“反转喷头的问题”转换为淹水的易拉罐的演示实验：用一个打开的罐装容器来证明反转喷水运动原理，如一只无盖的易拉罐，在其靠近底部的柱面上连接一些与实验中类似的弯头喷嘴。把这个容器放入水中时，水就涌入喷嘴，可看到罐慢慢地超前转，直到水到达它的顶部罐被完全淹没。这时水将停止流入喷嘴，而这罐也将突然停止转动。当罐碰到底时，罐中水的惯性使水流出喷嘴，使嘴象正转喷水时那样猛地一动。四、水平光滑桌面中间有一光滑小孔，轻绳一端伸入孔中，另一端系一质量为10g的小球，沿半径为40cm的圆周作匀速圆周运动，这时从孔下拉绳的力10-3N。若继续向下拉绳，而使小球沿半径为10cm的圆周作匀速圆周运动，这时小球的速率是多少？拉力所做的功是多少？解：建立如图所示的坐标系。以光滑小孔为参考点，因作用于小球的合力对参才点的力矩为0，则小球对该点的角动量不变。椐质点对参考点的角动量守恒律，有：0000rmrvmrvvvr210000000000.8vTrrTrTmvmsrmrm223013.0102AmvvJ根椐质点动能定理，可得拉力的功：五、均质杆可绕支点O转动。当与杆垂直的冲力作用某点A时，支点O对杆的作用力并不因此冲力之作用而发生变化，则A点称为打击中心。设杆长为L，求打击中心与支点的距离。解：建立如图所示的坐标系。设打击中心与支点的距离为x，则根据刚体定轴转动定理；zzzMI2221122zLzCMFxIImdmLm22LexCexzzFFmaFmmL213223FFxmLxLmL于是质心运动定理六、斜面倾角为θ,位于斜面顶端的卷扬机鼓轮半径为R,转动惯量为I,受到驱动力矩τ,通过绳索牵引斜面上质量为m的物体,其与斜面间的摩擦系数为μ,求重物上滑的加速度.绳与斜面平行,不计绳质量.解:建立坐标系,受力分析:重物:鼓轮:sincosTWWmaTRI由于a=Rβ,T’=T于是方向沿x正方向2sincosRmgRmgRaImR七、镜框贴着墙立在有摩擦的钉子上,稍受扰动即向下倾倒,当到达一定角度θ时,此镜框将跳离钉子,求θ。解：能量守恒，221111cos223mglml3sin2gl得：思路一：在镜框的方向上没有力的作用。因此g在径向的分量与向心加速度相等，有23cos1cos22nlmgmmgma所以2cos33cos33cosarccos.55思路二：镜框在水平方向上没有受到力的作用，因此，水平方向上加速度为0。331cossinsincos24gg所以22coscos22cosarccos.33思路三：镜框在垂直方向上加速度即为g。2331coscossin24ggg11cosarccos.33三个思路，三个不同模型，检验判断其结果的正确性。思路一：判断依据是g在径向的分量与向心加速度相等，只能说明镜框无径向上改变速度的趋势，在与镜框垂直向仍可能有加速度，其不是重力切向分力引起，并不意味镜框和钉子无相互作用力，钉子对镜框的摩擦力和支撑力可能合成现这一作用力。这一模型显然有误。思路二：依据是镜框跳离钉子时摩擦力为0，此时25cos,sin33镜框垂直向的加速度15153cossincos2123124naaggggg显然钉子对镜框有支撑力，横向加速度为0，不能得出。思路三：进行类似分析。122cos,sin33所以2222sincos632naaggg这个加速度由谁提供？镜框跳离钉子没有？如何解释？解法三中，此时，沿着镜框方向的向心加速度为331(1cos)(1)223naggg而重力和水平方向的摩擦力沿着镜框方向的合力，则22221(sincos)2233gggg说明确实是向左的摩擦力与重力一起提供了向心力。此时，重力和水平方向的摩撺力在切向的合力为222214222cossin2323662ggggggg与aτ相同，应该是第三种思路得到结果是正确的。为何出现水平方向加速度不为0？关键是建模时将摩擦力作用简化过度！对整个过程中镜框受力分析：222222coscossinsin22333coscoscossinsin224931coscos424llNmgmmmgmgmg(1)22cossinsincos2233sincos(1cos)sinsincossinsincos2433sincos122llfmgmmmgmgmg233sincos122931coscos424fN(2)(3)随着θ增加，N持续减小；但f先增加再减小,在θ=arccos2/3时反号,即在此之前,镜框底端相对于钉子有向左运动的趋势,在此之后又有向右滑动的趋势。至于何滑动，则由f/N比值及实际静摩擦系数μ决定：μ0.35左右,镜框在较小的角度就会向左滑动、失稳；μ0.40左右时,镜框在较大角度就会向右滑动、倒下。绘出随角度θ变化的图十、竖直悬挂的弹簧振子，若弹簧本身质量不可略，试推导其周期公式：式中m为弹簧质量,k为弹性系数,M为系于其上物体的质量(假定弹簧伸长量由上到下与长度成正比关系)。23TMmk十一、一沿x方向传播的波,在固定端B点处反射,如图所示.A点处的质点由入射波引起的振动方程yA=Acos(ωt+0.2π)。已知入射波的波长为λ,OA=0.9λ,AB=0.2λ.设振幅不衰减,试求OB间有多少个波腹和波节.若介质是线密度为1.0g.cm-1的弦线,振幅A=2.0cm,ω=40πs-1,λ=20cm,求相邻两波节间的总能量。十二、设有一处于激发态的原子以速率v运动。当其发射一能量为E’的光子后衰变至其基态,并使原子处于静止状态,此时原子静质量为m0。若激发态比基态能量高E0，试证明：002012EEEmc十三、为了避免高速行驶的汽车在转弯时容易发生翻车现象,可在车上安装一高速自旋的大飞轮。(1)试问：飞轮应安装在什么方向上,飞轮应沿什么方向转动？(2)设汽车的质量为m0,其行驶速度为v。飞轮是质量为m,半径为R的圆盘。汽车(包括飞轮)的质心距离地面的高度为h。为使汽车在绕一曲线行驶时,两面车轮的负重均等,试求飞轮的转速。22十四、一条长为2l，质量为m的柔软细绳，挂在一光滑的水平轴钉(粗细可忽略)上。当两边的绳长均为l时，绳索处于平衡状态。若给其一端加一个竖直方向的微小扰动，则细绳就从轴钉上滑落。试求：①当细绳刚脱离轴钉时，细绳的速度；②当较长的一边细绳的长度为x时，轴钉上所受的力。☆郑永令书后所附参考答案：)42(222lxlxlmggl；力学•习题分析23右边一段长为x，质心在x/2处。左边一段长为2lx，质心在(2lx)/2处。系统质心坐标lllxxlxxlxlxlxlxxxxlC2224442)2(2222222221质心下降llxllllxxlxC2)(22222222根据机械能守恒，llxmgm2)(2122所以，)(lxlgdtdxx=l：0；x=2l：=。gl力学•习题分析24)()(lxlgdtdxlgdtlxdlgdtda换种思路：)(22)2(22lxlgglxlxmgxllmgxlmdtda下面计算质心运动：lgllxdtdxllxllxdtddtdxC22)(2)(22222)(22)(llxgdtdxllxlgllxdtdlgdtxdC力学•习题分析25对于体系的质心：2222)(2llxgmdtxdmFmgC)42()242()(2222222222lxlxlmglxlxllmgllxgmmgF另一种思路：对于右侧长为x的部分，2222222222232222)()(22222)(2lxlxlmglxlxxlxlmglxlglxlgxlmlmdtxdxlmdtdxlmdtdxlmdtdMdtdMdtMdTgxlmF力学•习题分析262222223223222lxlxxllmglxlxlmggxlmT所以，222422lxlxlmgT变质量物体运动，进入主体的微元速度究竟是多大？2222222222225322422)(2)(222222222lxlxlmglxlxxlxlmglxlglxlgxlmlmdtxdxlmdtdxlmdtdxlmdtdMdtdMTgxlmF2222632lxlxlmgT力学•习题分析27xlxlmglxlgxlmdtxdxlmdtdxlmdtdMTgxlmF22222)(2222如果，222222222xxllmgxlxlmggxlmT力学•习题分析28十五、一质量为42u(u为原子质量单位，u=1.660539×10-27kg)的静止粒子衰变为两个碎片，其一静质量为12u，速率为3c/4，求另个碎片的动量、能量和静质量。十六、半人马座星与地球相距4.3光年，两个孪生兄弟中的一个A乘坐速度为0.8c的宇宙飞船去该星旅行。他在往程和返程途中每隔0.01a的时间发出一个无线电信号，另一个留在地球上的孪生兄弟B也在相应过程中每隔0.01a的时间发出一个无线电信号。(1)在A到达该星以前，B收到多少个A发出的信号？(2)在A到达该星以前，A收到多少个B发出的信号？(3)A和B各自共收到多少个从对方发出的信号？(4)当A返回地球时，A比B年轻了几岁？试证明两个孪生兄弟都同意此观点。