2012届高考数学(文)二轮复习方案教学课件(课标版)第5讲 三角恒等变换与三角函数

目录专题二三角函数与平面向量第5讲三角恒等变换与三角函数第6讲解三角形第7讲平面向量专题二三角函数与平面向量知识网络构建专题二│知识网络构建专题二│知识网络构建考情分析预测专题二│考情分析预测考向预测该专题是高考重点考查的部分，从最近几年考查的情况看，主要考查三角函数的图象和性质、三角函数式的化简与求值、利用正、余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等变换、平面向量的线性运算、平面向量的数量积、平面向量的平行与垂直以及三角函数、解三角形和平面向量在立体几何、解析几何等问题中的应用．该部分在试卷中一般是2～3个选择题或者填空题，一个解答题，由于该专题是高中数学的基础知识和工具性知识，在试题的难度上不大，一般都是中等难度或者较为容易的试题．基于这个实际情况以及高考试题的相对稳定性，我们预测在2012年的高考中该部分的可能考查情况如下：专题二│考情分析预测(1)在选择题或者填空题部分命制2～3个试题，考查三角函数的图象和性质、通过简单的三角恒等变换求值、解三角形、平面向量线性运算、平面向量的数量积运算等该专题的重点知识中的2～3个方面．试题仍然是突出重点和重视基础，难度不会太大．(2)在解答题的前两题(一般是第一题)的位置上命制一道综合性试题，考查综合运用该部分知识分析解决问题的能力．专题二│考情分析预测备考策略由于该专题内容基础，高考试题的难度不大，经过一轮复习的学生已经达到了高考的要求，二轮复习就是在此基础上进行的巩固和强化，在复习中注意如下几点：(1)该专题具有基础性和工具性，虽然没有什么大的难点问题，但包含的内容非常广泛，概念、公式、定理很多，不少地方容易混淆，在复习时要根据知识网络对知识进行梳理，系统掌握其知识体系．(2)抓住考查的主要题型进行训练，要特别注意如下几个题型：根据三角函数的图象求函数解析式或者求函数值，根据已知三角函数值求未知三角函数值，与几何图形结合在一起的平面向量数量积，解三角形中正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合运用，解三角形的实际应用问题．(3)注意数学思想方法的应用，该部分充分体现了数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想(变换)，在复习中要有意识地使用数学思想方法，强化数学思想方法在指导解题中的应用．专题二│考情分析预测专题二│考情分析预测第5讲三角恒等变换与三角函数第5讲三角恒等变换与三角函数主干知识整合第5讲│主干知识整合1．y＝Asin(ωx＋φ)(A0)的图象特点①在对称轴处取得最大值或最小值；②对称中心就是函数图象与x轴的交点；③两相邻的对称中心(或对称轴)之间相差半个周期，相邻的一个对称中心和对称轴之间相差四分之一个周期．2．三角函数的恒等变换从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧有：切割化弦，降幂，用三角公式转化出现特殊角，异角化同角，异名化同名，高次化低次等．二倍角公式是实现降幂或升幂的主要依据，注意其变形：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.要点热点探究第5讲│要点热点探究►探究点一简单的三角恒等变换例1(1)[2011·课标全国卷]已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()A．－45B．－35C.35D.45(2)若α∈0，π2，且sin2α＋cos2α＝14，则tanα的值等于()A.22B.33C.2D.3第5讲│要点热点探究【分析】(1)首先利用三角函数的定义求cos2θ或tanθ，然后充分利用倍角公式求cos2θ；(2)充分借助倍角公式和同角的基本关系式，最后再次借助商数关系得出tanα的值．(1)B(2)D【解析】(1)解法1：在角θ终边上任取一点P(a,2a)(a≠0)，则r2＝OP2＝a2＋(2a)2＝5a2，∴cos2θ＝a25a2＝15，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝25－1＝－35.第5讲│要点热点探究解法2：tanθ＝2aa＝2，cos2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ＝－35.(2)因为sin2α＋cos2α＝sin2α＋1－2sin2α＝1－sin2α＝cos2α，∴cos2α＝14，sin2α＝1－cos2α＝34，∵α∈0，π2，∴cosα＝12，sinα＝32，tanα＝sinαcosα＝3，故选D.第5讲│要点热点探究【点评】(1)考查三角函数的定义和倍角公式的应用，(2)考查了同角基本关系和倍角公式的应用，两道题同属于三角恒等变换问题，解决三角恒等变换基本思路：(1)化异为同、切化弦、“1”的代换是三角恒等变换常用的技巧；“化异为同”是指“化异名为同名”、“化异次为同次”、“化异角为同角”．(2)角的变换是三角变换的重要方法，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)等等．第5讲│要点热点探究已知cosx＋π6＝35，x∈(0，π)，则sinx的值为()A.－43－310B.43－310C.12D.32B【解析】由x∈(0，π)得x＋π6∈π6，7π6，又cosx＋π6＝35，所以sinx＋π6＝45，则sinx＝sinx＋π6－π6＝sinx＋π6cosπ6－cosx＋π6sinπ6＝45×32－35×12＝43－310.第5讲│要点热点探究►探究点二三角函数的图象例2(1)[2011·辽宁卷]已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2，y＝f(x)的部分图象如图5－1，则fπ24＝()图5－1A．2＋3B.3C.33D．2－3第5讲│要点热点探究【分析】(1)根据正切函数的周期性和已知函数图象上的特殊点的坐标，求出函数的解析式；(2)借助函数图象平移变换得到变换后的函数解析式，结合所得图象与原图象的重合事实，得出周期满足的条件，求得ω的取值．(2)设函数f(x)＝cosωx(ω0)，将y＝f(x)的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于()A.13B．3C．6D．9第5讲│要点热点探究(1)B(2)C【解析】(1)由图象知πω＝2×3π8－π8＝π2，ω＝2.又由于2×π8＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，φ＝kπ＋π4(k∈Z)，又|φ|π2，所以φ＝π4.这时f(x)＝Atan2x＋π4.又图象过(0,1)，代入得A＝1，故f(x)＝tan2x＋π4.所以fπ24＝tan2×π24＋π4＝3，故选B.(2)将y＝f(x)的图象向右平移π3个单位长度后得到的图象与原图象重合，则π3＝2πωk，k∈Z，得ω＝6k，k∈Z，又ω＞0，则ω的最小值等于6，故选C.第5讲│要点热点探究【点评】(1)根据函数图象求函数的解析式，主要是根据函数的图象发现函数的性质，如周期性、对称性、特殊点等，然后根据这些性质求出函数解析式中的未知数，在本题中的函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期是π|ω|，注意这是近几年来考查的为数不多的一个正切型函数；(2)考查三角函数图象的变换，依据三角函数的图象的平移口诀“左加右减，上加下减”即可解决；一般地，函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看做把曲线y＝sinωx上所有点向左(当φ0时)或向右(当φ0时)平行移动φω个单位长度而得到；两个三角函数的图象的对称轴相同，则它们的周期是相同的．第5讲│要点热点探究(1)已知函数y＝sin(ωx＋φ)ω0,0φ≤π2，且此函数的图象如图5－2所示，则点P(ω，φ)的坐标为()图5－2A.2，π2B.2，π4C.4，π2D.4，π4第5讲│要点热点探究(2)[2011·课标全国卷]设函数f(x)＝sin2x＋π4＋cos2x＋π4，则()A．y＝f(x)在0，π2单调递增，其图象关于直线x＝π4对称B．y＝f(x)在0，π2单调递增，其图象关于直线x＝π2对称C．y＝f(x)在0，π2单调递减，其图象关于直线x＝π4对称D．y＝f(x)在0，π2单调递减，其图象关于直线x＝π2对称第5讲│要点热点探究(1)B(2)D【解析】(1)依题意，借助图形，不难知道T＝π，所以ω＝2，排除C，D；又由2×3π8＋φ＝π，φ＝π4，选择B.(2)f(x)＝2sin2x＋π4＋π4＝2sin2x＋π2＝2cos2x，所以y＝f(x)在0，π2内单调递减，又fπ2＝2cosπ＝－2，是最小值．所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝π2对称．第5讲│要点热点探究►探究点三三角函数的性质例3若函数f(x)＝sinωx(ω0)在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，则ω＝()A.23B.32C．2D．3B【解析】本题考查三角函数的单调性．因为当0≤ωx≤π2时，函数f(x)为增函数，当π2≤ωx≤π时，函数f(x)为减函数，即当0≤x≤π2ω时，函数f(x)为增函数，当π2ω≤x≤πω时，函数f(x)为减函数，所以π2ω＝π3，所以ω＝32.第5讲│要点热点探究例4函数f(x)＝4cosxsinx＋π6－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间－π6，π4上的最大值和最小值．第5讲│要点热点探究【解答】(1)因为f(x)＝4cosxsinx＋π6－1＝4cosx32sinx＋12cosx－1＝3sin2x＋2cos2x－1＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6，所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x≤π4，所以－π6≤2x＋π6≤2π3.于是，当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)取得最大值2；当2x＋π6＝－π6，即x＝－π6时，f(x)取得最小值－1.第5讲│要点热点探究已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω0，－πφ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝π2时，f(x)取得最大值，则()A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数第5讲│要点热点探究A【解析】∵2πω＝6π，∴ω＝13.又∵13×π2＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z且－πφ≤π，∴当k＝0时，φ＝π3，f(x)＝2sin13x＋π3，要使f(x)递增，须有2kπ－π2≤13x＋π3≤2kπ＋π2，k∈Z，解之得6kπ－5π2≤x≤6kπ＋π2，k∈Z，当k＝0时，－52π≤x≤π2，∴f(x)在－52π，π2上递增．第5讲│要点热点探究[2011·四川卷]已知函数f(x)＝sinx＋7π4＋cosx－3π4，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0αβ≤π2.求证：[f(β)]2－2＝0.第5讲│要点热点探究【解答】(1)∵f(x)＝sinx＋7π4－2π＋sinx－3π4＋π2＝sinx－π4＋sinx－π4＝2sinx－π4，∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.(2)由已知得cosβcosα＋sinβsinα＝45，cosβcosα－sinβsinα＝－45.两式相加得2cosβcosα＝0.∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2，∴[f(β)]2－2＝4sin2π4－2＝0.第5讲│规律技巧提炼1．三角函数求值或化简时，要注意进行“变换”，变换角的形式、变换函数的名称，使用的公式是同角三角函数关系、诱导公式、