47复合函数求导

1.2.3复合函数求导我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式11.(),'()0;2.(),'();3.()sin,'()cos;4.()cos,'()sin;5.(),'()ln(0);6.(),'();17.()log,'()(0,1);ln8.aaxxxxafxcfxfxxfxaxfxxfxxfxxfxxfxafxaaafxefxefxxfxaaxa公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln,'();fxxfxx则导数的运算法则：法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:()()()()fxgxfxgx法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即:()()()()()()fxgxfxgxfxgx法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方.即:2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx思考？如何求函数的导函数：2lnxy1.复合函数的概念:(()),(),()()(())yfxuxyfuuuxxyfx对于函数令若是中间变量的函数，是自变量的函数，则称是复自变量x的合函数.二、讲授新课：05:59:21指出下列函数是怎样复合而成：2(1)sin2(2)31(3)cos(sin)(4)()1(5)sin(1).nmyxyxxyxyabxyx；；；；练习1sin,2yuux2,31yuuxx,.mnyuuabxcos,sinyuux1sin,1yuux05:59:21定理设函数y=f(u)，u=(x)均可导，则复合函数y=f((x))也可导.且()()xyfux，xuxuyy或复合函数的求导法则即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)注意：1、法则可以推广到两个以上的中间变量；2、求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导.例4求下列函数的导数2)32()1(xy函数求导法则有的复合函数。根据复合和可以看作函数函数解：32)32()1(22xuuyxy1284)'32()'('''2xuxuuyyxux105.0)2(xey函数求导法则有的复合函数。根据复合和可以看作函数函数解：105.0)1(105.0xueyeyux105.005.005.0)'105.0()'('''xuuxuxeexeuyy))(sin()3(均为常数，其中xy函数求导法则有的复合函数。根据复合和可以看作函数函数解：xuuyxysin)sin()1()cos(cos)'()'(sin'''xuxuuyyxux解：设则二、举例(A)例1求函数的导数5)23(xy解：设,23xu5uy因为,3,54xuuuy所以xuxuyy(B)例2求函数的导数)1ln(2xy21xuuyln因为,2,1xuuyxu所以12)2(12xxxuuyyxux444)23(153)23(535xxu则(A)例3求函数的导数xy2cos解：设xucos2uy因为xuuyxusin,2所以xuxuyyxxxxu2sinsincos2)sin(2的导数、求xyAsinln2)(xuuysin,ln解：xuxuxxuuyy)(sin)(lnxxxxucotcossin1cos1练习3：设f(x)=sinx2，求f(x).解22()cos()xfxxx22cosxx练习求下列函数的导数(A)1.xey3解：xxxexeey3333)3()((A)2.)cos(3xy解：)(sin)(cos333xxxy32sin3xxxey1sin)1(sin1sinxeyx)1(1cos1sinxxexxxex1cos)1(21sinxexx1cos11sin2(B)3.解：(A)例11求下列函数的导数综合运用求导法则求导xexy22sin).1()2(sin2xexy解：)()2(sin2xex)2()2(2cos2xexxxxex222cos233)(lnln).2(xxy])[(ln)(ln33xxy解：)(ln)(ln3)(1233xxxxxxxx1)(ln331223])(ln1[3)(ln3322xxxxx(B)例12求下列函数的导数321)45(xxy解：y312)1()45(xx])1)[(45(312xx)1()1(31)45()1(1032231xxxx.)1(1)45(311103223xxxx（1）【解析】103311(25)(2)sinsin1yxyxxx求下列函数的导数（）例42)sin(xxy解：)sin()sin(4232xxxxy])(sin[)sin(4232xxxx])(sinsin21[)sin(432xxxx)cossin21()sin(432xxxx)2sin1()sin(432xxx（2）练习求下列函数的导数xeyAx3sin.1)(221.2)(xxeeyA)3(sin3sin)(22xexeyxx解：)3(3cos3sin)2(22xxexxexxxexexx3cos33sin222）（）（解：21xxeey)(1212xexexx）（22121xxxexe22112xxxeexxxyC2cos12sin.4)(xxxxxxycotsincossin211cossin22解：)(cotxyx2csc1)1(.3)(2xxyB)1)(1(1)1(22xxxxy解：12x)1()1(21)1(2212xxx12xxxx2)1)(1(212121)1(122xxxx11222xxx复习检测复习检测复习检测复习检测(C)例13求下列函数的导数112xxy解：先将已知函数分母有理化，得)1)(1(1222xxxxxxy12xxy)1(121122xx112xx（1）xxycos1sin2解：因为xxycos1sin2xxxcos1cos1cos12所以xysin11lnxxy解：因为11lnxxy)]1ln()1[ln(21xx所以y211)1111(21xxx（2）（3）【解析】233(31)142yx求曲线在点（，）处的例切线方程。练习1:求下列函数的导数:bxaxyxxyxxxyxycbxaxycossin)5()7643()4()3(211)2()1(232232答案:2223221)21(2)2()(3)2()1(xxxycbxaxcbxaxbaxy4227421925)76()43(135)4()925()(21)3(xxxxxxy.)2sin()2(41)2sin()2(41sin21)5(xbabaxbababxb例2:设f(x)可导,求下列函数的导数:(1)f(x2);(2)f();(3)f(sin2x)+f(cos2x)21x解:);(2)()()1(222xfxxxfy);1(1122)1()2(2222xfxxxxxfy)].(cos)(sin[2sin)sin(cos2)(coscossin2)(sin))(cos(cos))(sin(sin])(cos)(sin[)3(2222222222xfxfxxxxfxxxfxxfxxfxfxfy三、例题选讲：(B)例8求的导数32sinxy解：y'={[sin(x3)]2}'=2sin(x3)[sin(x3)]'=2sin(x3)cos(x3)(x3)'=2sin(x3)cos(x3)3x2=6x2sin(x3)cos(x3)(B)例9求的导数xy4sinln解：y'={ln[sin(4x)]}'=[sin(4x)]'x4sin1=cos(4x)(4x)'x4sin1x4sin4=cos(4x)x4cot4（C）4.32ln1xy)ln1()ln1(3121312xxy解：])(ln1[)ln1(312322xx])(lnln20[)ln1(31322xxxxxxln12)ln1(31322xxxln)ln1(32322.3小结：复合函数y=f(x)要先分解成基本初等函数y=g(u),u=h(v),v=i(x)等，再求导：y’x=y’uu’vv’x根据函数式结构或变形灵活选择基本初等函数求导公式或复合函数求导方法作业本：“基本初等函数的导数公式及导数的运算法则”例6.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均相切,求l的方程.解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).对于则与S1相切于P点的切线方程为y-x12=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①,2,1xyS对于与S2相切于Q点的切线方程为y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②),2(2,2xyS因为两切线重合,.02204)2(222121222121xxxxxxxx或若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.