浙江省湖州市2017-2018学年高一下学期期末考试试题(数学)

第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．直线30xy的倾斜角是A．30B．45C．60D．752．在等比数列na中，38a，664a，则公比q是A．2B．3C．4D．53．若0ab，0cd，则一定有A．acbdB．acbdC．abdcD．abdc4．若圆1C：22211xy与圆2C关于原点对称，则圆2C的方程是A．22121xyB．22121xyC．22211xyD．22211xy5．若关于x的不等式012bxax的解集是12xx，则不等式210bxax的解集是A．213xxB．1xx或23xC．213xxD．23xx或1x6．已知不等式119xmyxy对任意正实数,xy恒成立,则正实数m的最小值是A．2B．4C．6D．87．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小一份面包是A．2个B．13个C．24个D．35个8．在ABC中，边,,abc所对的角分别为,,ABC，若2223abcbc，sin2cosCB，则A．π3AB．π4BC．3cbD．2ca9．已知数列na的首项11a，前n项和为nS，且满足122nnaS（Nn），则满足2100111100010nnSS的n的最大值是A．8B．9C．10D．1110．过点0,3P作直线2120xy（R）的垂线，垂足为M，已知点2,3N，则当变化时，MN的取值范围是A．[0,55]B．[55,55]C．[5,55]D．[55,5]第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．)11．已知两点1,12A，11,2B，则直线AB的斜率k的值是▲，直线AB在y轴的截距是▲．12．已知数列na的前n项和2nSn，n∈N*．则1a▲，123420172018aaaaaa▲．13．已知实数,xy满足121040xxyxy，此不等式组表示的平面区域的面积是▲，目标函数2zxy的最小值是▲．14．已知,ab都为正实数，且113ab，则ab的最小值是▲，1bab的最大值是▲．15．已知圆1C：22(2)(2)10xy与圆2C：22620xyxy相交于,MN两点，则直线MN的方程是▲．16．若锐角ABC的面积为103，5,8ABAC，则BC边上的中线AD的长是▲．17．已知Rt，记函数42fxxtx在1,2的最大值为21，则实数t的值是▲．三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)18．(本小题满分14分)已知直线1l：350xy，直线2l：40axy（Ra）．（Ⅰ）若直线1l与直线2l平行，求实数a的值；（Ⅱ）若直线1l与直线2l垂直，求直线1l与2l的交点坐标．19．(本小题满分15分)已知公差不为零的等差数列{}na的前9项和945S，且248aaa，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）若数列{}nb满足112nnnba，求数列{}nb的前n项和nT．20．（本小题满分15分）已知ABC的内角,,ABC的对边分别是,,abc，且2cos2aCcb．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若3a，求bc的取值范围．21．(本小题满分15分)已知圆心在x轴正半轴上的圆C与直线512210xy相切，与y轴交于,MN两点，且120MCN．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）过点0,3P的直线l与圆C交于不同的两点ED,，若32DE时，求直线l的方程；（Ⅲ）已知Q是圆C上任意一点，问：在x轴上是否存在两定点,AB，使得12QAQB?若存在，求出,AB两点的坐标；若不存在，请说明理由．22．（本小题满分15分）已知数列na满足13a，且2134nnnaaa（Nn）．（Ⅰ）试用数学归纳法证明：3na（Nn）；（Ⅱ）证明：1nnaa（Nn）；（Ⅲ）设数列11na的前n项和为nS，证明：114nS（Nn）．答案一、选择题(本大题共有10小题，每小题4分，共40分．)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．)11．3，5212．1，201813．43，114．49，415．10xy16．212917．25三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)18．(本小题满分14分)已知直线1l：350xy，直线2l：40axy（Ra）．（Ⅰ）若直线1l与直线2l平行，求实数a的值；（Ⅱ）若直线1l与直线2l垂直，求直线1l与2l的交点坐标．解析：（Ⅰ）由题意，直线1l的斜率是113k，直线2l的斜率是2ka，┈┈┈4分因为直线1l与直线2l平行，所以12kk即13a．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分（Ⅱ）因为直线1l与直线2l垂直，则121kk┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8分得3a┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分由350340xyxy得7101910xy┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈13分因此直线1l与2l的交点坐标为719,1010．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈14分19．(本小题满分15分)已知公差不为零的等差数列{}na的前9项和945S，且248aaa，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）若数列{}nb满足112nnnba，求数列{}nb的前n项和nT．解析：(Ⅰ)由945S得，1989452da化简得145ad．┈┈┈┈┈2分由248aaa，，成等比数列，得2111(3)()(7)adadad化简得210dad┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分因为0d所以1ad所以1,11da┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分因此数列{}na的通项公式nan┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8分（Ⅱ）由题意111122nnnnban因此123nnTbbbb012111111232222nn11121212nnn┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12分111222nnn┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈15分20．（本小题满分15分）已知ABC的内角,,ABC的对边分别是,,abc，且2cos2aCcb．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若3a，求bc的取值范围．解析（I）由已知得：2sincossin2sinACCAC，…………2分故sin2cossinCAC，由sin0C得1cos2A…………………………………………3分故3A．……………………………7分（II）解法1：一方面3bca，…………………………9分另一方面：222233abcbcbcbc……………………11分2232bcbc……………………13分（当且仅当3bc时取到等号）………………………………………14分即212bc，23bc综上：323bc┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈15分．解法2：一方面3bca，………………9分另一方面，由正弦定理得：2sinsinsinbcaBCA，及23BC所以22sin2sin2sin2sin3bcBCBB………11分BBcos3sin3)6sin(32B………………………13分又203B，故5666B，……………………………………14分故1sin12B，从而323cb．…………………………15分21．(本小题满分15分)已知圆心在x轴正半轴上的圆C与直线512210xy相切，与y轴交于,MN两点，且120MCN．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）过点0,3P的直线l与圆C交于不同的两点ED,，若32DE时，求直线l的方程；（Ⅲ）已知Q是圆C上任意一点，问：在x轴上是否存在两定点,AB，使得12QAQB?若存在，求出,AB两点的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（Ⅰ）设圆C的标准方程为222xayr（,0ar）……………1分则由条件得225215122arra………………………………………………………………3分解得12ar，故圆C的标准方程时2214xy……………………………………5分（Ⅱ）设直线l的方程方程为3ykx即30kxy………………………………6分则由题意可知，圆心C到直线l的距离1d………………………………………………7分故2311kk，解得43k．………………………………………………………………9分又当0x满足题意，因此所求直线l的方程为433yx或者0x．………………………………10分（Ⅲ）假设在x轴上是存在两定点,0,,0AaBb，设,Qxy是圆C上任意一点，则2214xy即2232xyx2222222222314223axaQAxaybxbxbyQB………………………………………12分令2222312234aabb………………………………………………………………………14分解得25ab或03ab因此存在2,0,5,0AB或0,0,3,0AB满足题意．……………………………15分方法二：设,Qxy是圆C上任意一点由12QAQB得222212xayxby，………………………………………………………12分化简得2222824033ababxyx对照圆C的标准方程2214xy即22230xyx得228223433abab……………………………………………………………………………14分解得25ab或03ab因此存在2,0,5,0AB或0,0,3,0AB满足题意………………………………15分22．（本小题满分15分）已知数列na满足13a，且2134nnnaaa（Nn）．（Ⅰ）试用数学归纳法证明：3na（Nn）；（Ⅱ）求证：1nnaa（Nn）；（Ⅲ）设数列11na的前n项和为nS，证明：114nS（Nn）．解析：（Ⅰ）①当1n时，133a，故当1n时命题成立；……………1分②假设nk时命题成立，即3ka，当1nk时，注意24yxx在3,单调递增，…………………………………3分所以2213433410kkkaaa故11033ka，故当1nk时命题成立．因此对任意的Nn，有3na．…………………………………………………………5分（Ⅱ）由22133442n