44弧微分与曲率

Chapter4(4)弧微分与曲率教学要求：1.了解弧微分的概念及计算;2.了解曲率和曲率半径的概念;3.会计算曲率和曲率半径..弧微分一.曲率及其计算公式二.曲率圆与曲率半径三.弧微分一1.弧长函数NRTA0xMxxx.),()(内具有连续导数在区间设函数baxfxyo),,(:00yxA基点,),(为任意一点yxM规定：;)1(增大的方向一致曲线的正向与x,)2(sAM.,,,取负号相反时取正号一致时的方向与曲线正向当ssAM.)(是单调递增函数则弧长函数xss2.弧长函数的导数与微分用导数定义求得,如图所示.MRT0M0xMxxxxyo.,MMxxx曲线由时当由MMMMMMs00则22222xMMMMMMxMMxs2222xyxMMMM221xyMMMM221xyMMMMxs,1limlim0MMMMMMMMMMxyxyx0lim22001limlimxyMMMMxsxx21dxdy又s=s(x)是单增函数,21dxdydxds21y2)]([1xfdxyds21从而弧微分公式Example1..),()()(dsttytx求为参数设有曲线Solution.,)(dttdxdttdy)(dxdxdyds2)(1.)]([)]([22dtttdsdtttt)(])()([12Example2.Solution.,sin)(cos)(ryrx,sin)(cos)(rrddx,cos)(sin)(rrddy.)]([)]([22drrds.),(dsrr求设有曲线.曲率及其计算公式二1.曲率定义曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量.弧长相同时,弧段弯曲程度越大转角越大转角相同时,弧段越短弯曲程度越大1M3M22M2S1SMM1S2SNN1曲线的切线转过的角度称为转角.定义:,,的切线转角为到由设MMsMMSS).M.MC0Myxo;)1(称为平均曲率sK.,lim)2(0处的曲率称此极限值为点存在若Mss.lim0sdsdKs记为注意:(1)直线的曲率处处为零;(2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.2.曲率的计算公式为则其上任一点处的曲率二阶可导设,)(xfy.)1(232yyKProof.,dsdK.12dxyds且,tany又dxdy2secdxdy)1(2.12dxyyd.)1(232yydsdK若曲线方程为参数方程:),(),(tytx,)()(ttdxdy则,)]([)()()()(322tttttdxyd代入曲率的计算公式可得:.)]()([)()()()(2322ttttttK.曲率圆与曲率半径三1.曲率半径.1,1),0()(:KMKKMxfyC记为点处的曲率半径称为则处的曲率为上一点设曲线2.曲率圆D)(xfyMk1xyo.,,,,1,,)(:为曲率中心点处的曲率圆此圆即为为半径作圆圆心为以点使取在其凹侧作曲线的法线处上点在曲线DMDKMDDMNMxfyCN(1)曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数..1,1KK即注意:(2)曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).(3)曲率圆与曲线在点M处有相同的切线与曲率.Example3..?2径并求出该点处的曲率半上哪一点处的曲率最大cbxaxySolution.,2,2aybaxy.])2(1[2232baxaK;,2,02最大时即只有当Kabxbax.442abacy此时).44,2(2abacab所求点为.211aK且该点处的曲率半径为Theend