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第五章平面向量§1、向量概念及向量的初等运算一、选择题1.下列命题中的假命题是()A.向量AB与BA的长度相等B.两个相等向量若起点相同,则终点必相同C.只有零向量的模等于0D.共线的单位向量都相等2.如图,在圆O中,向量OB,OC,AO是()A.有相同起点的向量B.单位向量C.相等的向量D.模相等的向量3.如图,△ABC中,DE∥BC,则其中共线向量有()A.一组B.二组C.三组D.四组4.若a是任一非零向量,b是单位向量,下列各式①|a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|=±1;⑤aa=b,其中正确的有()A.①④⑤B.③C.①②③⑤D.②③⑤5.四边形ABCD中,若向量AB与CD是共线向量,则四边形ABCD()A.是平行四边形B.是梯形C.是平行四边形或梯形D.不是平行四边形,也不是梯形6.把平面上所有单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是()A.一条线段B.一个圆面C.圆上的一群弧立点D.一个圆7.若a,b是两个不平行的非零向量,并且a∥c,b∥c,则向量c等于()A.0B.aC.bD.c不存在8.命题p:a与b是方向相同的非零向量,命题q:a与b是两平行向量,则命题p是命题q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、判断题1.向量AB与BA是两平行向量.()2.若a是单位向量,b也是单位向量,则a=b.()3.长度为1且方向向东的向量是单位向量,长度为1而方向为北偏东30°的向量就不是单位向量.()4.与任一向量都平行的向量为0向量.()5.若AB=DC,则A、B、C、D四点构成平行四边形.()6.两向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点也相同.()7.设O是正三角形ABC的中心,则向量AB的长度是OA长度的3倍.()8.已知四边形ABCD是菱形,则|AC|=|BD|是菱形ABCD为正方形的充要条件.()9.在坐标平面上,以坐标原点O为起点的单位向量的终点P的轨迹是单位圆.()10.凡模相等且平行的两向量均相等.()三、填空题1.已知a,b,c为非零向量,且a与b不共线,若c∥a,则c与b必定.2.已知|OA|=4,|AB|=8,∠AOB=60°,则|AB|=.3.如图,已知O是正六边形的中心,则在图中所标出的各向量中,模等于该正六边形边长的向量共有个.4.如图所示,四边形ABCD与ABDE都是平行四边形,则①与向量AB共线的向量有;②若|AB|=1.5,则|CE|=.5.已知四边形ABCD中,AB=21DC,且|AD|=|BC|,则四边形ABCD的形状是.四、解答题1.如图,在△ABC中,已知:向量AD=DB,DF=BE,求证:DE=AF.2.在直角坐标系中,将所有与y轴共线的单位向量的起点移到x轴上,其终点的集合构成什么图形?参考答案:一、1.D2.D3.C4.B5.C6.D7.A8.A二、1.√2.×3.×4.√5.×6.×7.√8.√9.√10.×三、1.不共线2.433.124.①ED,DC,EC,DE,CD,CE,BA②35.等腰梯形四、1.提示:证F平分AC,E平分BC.2.平行于x轴,且与x轴的距离为1的两条直线§2、平面向量坐标运算一、选择题1.若a,b是不共线的两个向量,且AB=λ1a+b,AC=a+λ2b(λ1,λ2∈R),则A、B、C三点共线的充要条件是()A.λ1=λ2=-1B.λ1=λ2=1C.λ1λ2+1=0D.λ1λ2-1=02.已知a=(3,-1),b=(-1,2),则-3a-2b的坐标是()A.(7,1)B.(-7,-1)C.(-7,1)D.(7,-1)3.已知a=(-1,3),b=(x,-1),且a∥b,则x等于()A.3B.31C.-3D.-314.已知平行四边形ABCD中,AD=(3,7),AB=(-2,3),对角线AC、BD交于O,则CO的坐标是()A.(-21,5)B.(-21,-5)C.(21),-5)D.(21,5)5.若向量a=(x-2,3)与向量b=(1,y+2)相等,则:()A.x=1,y=3B.x=3,y=1C.x=1,y=-5D.x=5,y=-16.三点A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)共线的充要条件是()A.x1y2-x2y1=0B.x1y3-x3y1=0C.(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1)D.(x2-x1)(x3-x1)=(y2-y1)(y3-y1)7.设a=(23,sinα),b=(cosα,31)且a∥b,则锐角α为()A.30°B.60°C.45°D.75°8.已知向量AB=(6,1),BC=(x,y),CD=(-2,3),则DA=()A.(x+4,2-y)B.(x-4,2-y)C.(x-4,y-2)D.(-4-x,-y+2)9.已知a=(1,2),b=(x,1),当a+2b与2a-b共线时,x值为()A.1B.2C.31D.2110.如果1e、2e是平面α内所有向量的一组基底,那么()A.若实数λ1、λ2,使λ11e+λ22e)=0,λ1=λ2=0B.空间任一向量a可以表示为a=λ11e+λ22e,这里λ1、λ2是实数C.对实数λ1、λ2,λ11e+λ22e)不一定在平面α内D.对平面α内的任一向量a,使a=λ11e+λ22e的实数λ1、λ2有无数对.二、填空题:1.已知1e、2e是一对不共线的非零向量,若a=1e+λ2e,a=-2λ1e-2e,且a、b共线,则λ=.2.已知a=(1,2),b=(2,1),c=(3,-2),且c=λa+μb,则实数λ=,μ=.3.若向量a=(1,-2)的终点在原点,那么这个向量的始点坐标是.4.在△ABC中,已知AB=a,CA=c,O是△ABC的重心,则OB+OC=.5.已知a、b是两非零向量,且|a|=m,|b|=n,c=a+b,当m<n时,|c|的最小值是.三、解答题:1.已知a=AB,B(1,0),b=(-3,4),c=(-1,1),且a=3b-2c,求点A的坐标.2.已知△ABC,A(7,8)、B(3,5)、C(4,3),M、N是AB、AC的中点,D是BC中点,MN与AD交于F,求DF.3.已知A(1,-2),B(2,1),C(3,2)和D(-2,3),以AB、AC为一组基底来表示AD+BD+CD.参考答案一、1.D2.B3.B4.B5.B6.C7.C8.B9.D10.A二、1.±222.λ=-37,μ=383.(-1,2)4.31(a-c)5.n-m三、1.(8,-10)2.DF=-21AD=(47,2)3.32AB-22AC§3、平面向量的数量积一、选择题1.已知|a|=|b|=1,|a+b|=1,则|a-b|等于()A.1B.3C.23)D.22.有四个式子:(1)0·a=0;(2)0·a=0;(3)0-AB=BA;(4)|a·b|=|a|·|b|其中正确的个数为()A.4个B.3个C.2个D.1个3.设向量a和b的长分别为6和5,夹角为120°,则|a+b|等于()A.32B.-32C.91D.314.在四边形ABCD中,AB·BC=0,且AB=DC,则四边形ABCD是()A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形5.已知|a|=63,|b|=1,a·b=-9,则a与b的夹角是()A.120°B.150°C.60°D.30°6.对任意向量a、b,|a|·|b|与a·b)的大小关系是()A.|a|·|b|<a·bB.|a|·|b|≤a·bC.|a|·|b|≥a·bD.无法确定7.已知下列各式:①a2=|a|2;②2aba=ab;③(a·b)2=a2·b2;④(a-b)2=a2-2a·b+b2,其中正确的是()A.1个B.2个C.3个D.4个8.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角为90°,且c=2a+3b,d=ka-4b,c⊥d,则k的值为()A.-6B.6C.3D.-39.已知a2=1,b2=2,(a-b)·a=0,则a与b的夹角是()A.60°B.90°C.45°D.30°10.已知|a|=a,|b|=b,向量a和b的夹角为θ,则|a-b|等于()A.cos222abbaB.sin222abbaC.sin222abbaD.cos222abba二、填空题1.已知A(1,3),B(2,4),C(5,6),则AB·AC+AC·BC=.2.已知A(3,m),B(2m,1),若|AB|=2,则m=.3.已知e为单位向量,|a|=4,a与e的夹角为32,则a与e方向上的投影是.4.已知a,b满足|a|=1,|b|=1,且(a-b)2=3,则a·b=.5.若|a|=2,|b|=2,a与b的夹角是45°,且λb-a与a垂直,则λ=.三、解答题1.已知|a|=3,|b|=4,a与b的夹角为150°,求(1)(a-3b)·(2a+b);(2)|3a-4b|2.已知|a|=5,|b|=4,且a与b的夹角为60°,问当且仅当k为何值时,向量ka-b与a+2b垂直?3.若|a|=13,|b|=19,|a+b|=24,求|a-b|的值.参考答案一、1.B2.D3.D4.C5.B6.C7.B8.B9.C10.D二、1.252.51943.-24.25.arccos2552三、1.(1)-30+303(2)337+14432.k=15143.22§4、线段的定比分点和平移平移一、选择题1.一个向量a按点(-1,1)平移到(2,-3),则a的坐标是()A.(1,-2)B.(-3,4)C.(3,-4)D.(3,4)2.将A(3,4)按a=(1,2)平移,得到的对应点的坐标是()A.(4,6)B.(2,2)C.(4,2)D.(2,6)3.向量a将点P(0,m)平移到P′,P′的坐标为(m,0),则向量a为()A.(m,-m)B.(0,-m)C.(-m,m)D.(-m,-m)4.将图像F按a=(h,k)(其中h>0,k>0)平移,就是将图形F()A.向x轴的正方向平移h个单位,同时向y轴的正方向平移k个单位B.向x轴的负方向平移h个单位,同时向y轴的正方向平移k个单位C.向x轴的正方向平移k个单位,同时向y轴的正方向平移h个单位D.向x轴的负方向平移k个单位,同时向y轴的正方向平移h个单位5.将曲线y=f(x)上的点P(1,0)平移变为P′(2,0),平移后得到曲线的新解析式为()A.y′=f(x′-1)B.y′=f(x′)-1C.y′=f(x′+1)D.y′=f(x′)+16.将函数y=221x的图像按a平移,平移后的函数解析式为y=2121x-1,则a=()A.(-2,1)B.(2,-1)C.(1,-1)D.(-1,1)7.把一个函数的图像按a=(4,2)平移后得到的图像的函数解析式为y=sin(x+4)+2,那么原来函数的解析式为()A.y=sinxB.y=cosxC.y=sinx+2D.y=cosx+48.将函数y=sin2x的图像按向量a=(-6,1)平移后所得图像的解析式是()A.y=sin(2x+3)+1B.y=sin(2x-3)+1C.y=sin(2x+6)+1D.y=sin(2x-6)+19.将函数y=x+2的图像l按a=(6,-2)平移的l′的解析式为()A.y=x+10B.y=x-6C.y=x+6D.y=x-1010.为了得到y=f(-2x)的图像,可以把函数y=f(1-2x)的图像按向量a进行平移,则a等于()A.(1,0)B.(-1,0)C.(21,0)D.(-21,0)二、填空题:1.按a=(m,n)平移,使方程4x2+4y2+16x-18y-11=0,变为4x2+9y2=36,则a=.2.把函数y=log2(2x-3)+4化简为y=log22x,则需平移a=.3.将函数y=x2-2x+2的图像按a=(-1,1)平移,则平移后的图像所对应的函数解析式为.4.将函数y=f(x)按a=(1,-2)平移后得到y=6x2+3x-2,则f(x)=.5.一个向量a把点(-1,-1)平移到(-1,0),则点(-1,0)平移到.6.抛物线y=4x2按a(1
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