高考数学大二轮总复习与增分策略 专题三 三角函数、解三角形与平面向量 第3讲 平面向量练习 理

1第3讲平面向量1．(2016·课标全国丙)已知向量BA→＝12，32，BC→＝32，12，则∠ABC等于()A．30°B．45°C．60°D．120°答案A解析∵|BA→|＝1，|BC→|＝1，cos∠ABC＝BA→·BC→|BA→|·|BC→|＝32，∴∠ABC＝30°.2．(2016·山东)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝13.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为()A．4B．－4C.94D．－94答案B解析∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即t·m·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，由已知得t×34|n|2×13＋|n|2＝0，解得t＝－4，故选B.3．(2016·天津)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF→·BC→的值为()A．－58B.18C.14D.118答案B解析如图所示，AF→＝AD→＋DF→.又D，E分别为AB，BC的中点，且DE＝2EF，所以AD→＝12AB→，2DF→＝DE→＋EF→＝DE→＋12DE→＝32DE→＝34AC→，所以AF→＝12AB→＋34AC→.又BC→＝AC→－AB→，则AF→·BC→＝12AB→＋34AC→·(AC→－AB→)＝12AB→·AC→－12AB→2＋34AC→2－34AC→·AB→＝34AC→2－12AB→2－14AC→·AB→.又|AB→|＝|AC→|＝1，∠BAC＝60°，故AF→·BC→＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B.4．(2016·浙江)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤6，则a·b的最大值是________．答案12解析由已知可得：6≥|a·e|＋|b·e|≥|a·e＋b·e|＝|(a＋b)·e|，由于上式对任意单位向量e都成立．∴6≥|a＋b|成立．∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝12＋22＋2a·b.即6≥5＋2a·b，∴a·b≤12.1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，难度中低档.2.考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.热点一平面向量的线性运算31．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．2．在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1(1)设0θπ2，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝______.(2)(2016·课标全国乙)设D为△ABC所在平面内一点，BC→＝3CD→，则()A.AD→＝－13AB→＋43AC→B.AD→＝13AB→－43AC→C.AD→＝43AB→＋13AC→D.AD→＝43AB→－13AC→答案(1)12(2)A解析(1)因为a∥b，所以sin2θ＝cos2θ，2sinθcosθ＝cos2θ.因为0θπ2，所以cosθ0，得2sinθ＝cosθ，tanθ＝12.(2)∵BC→＝3CD→，∴AC→－AB→＝3(AD→－AC→)，即4AC→－AB→＝3AD→，∴AD→＝－13AB→＋43AC→.思维升华(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．跟踪演练1(1)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若AO→＝λAB→＋μBC→，则λ＋μ等于()A．1B.12C.13D.23(2)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么EF→等于()4A.12AB→－13AD→B.14AB→＋12AD→C.13AB→＋12DA→D.12AB→－23AD→答案(1)D(2)D解析(1)∵AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋13BC→，∴2AO→＝AB→＋13BC→，即AO→＝12AB→＋16BC→.故λ＋μ＝12＋16＝23.(2)在△CEF中，有EF→＝EC→＋CF→.因为点E为DC的中点，所以EC→＝12DC→.因为点F为BC的一个三等分点，所以CF→＝23CB→.所以EF→＝12DC→＋23CB→＝12AB→＋23DA→＝12AB→－23AD→，故选D.热点二平面向量的数量积1．数量积的定义：a·b＝|a||b|cosθ.2．三个结论(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x2＋y2.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.5例2(1)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP→＝3PD→，AP→·BP→＝2，则AB→·AD→的值是________．(2)若b＝cosπ12，cos5π12，|a|＝2|b|，且(3a＋b)·b＝－2，则向量a，b的夹角为()A.π3B.2π3C.5π6D.π6答案(1)22(2)C解析(1)由CP→＝3PD→，得DP→＝14DC→＝14AB→，AP→＝AD→＋DP→＝AD→＋14AB→，BP→＝AP→－AB→＝AD→＋14AB→－AB→＝AD→－34AB→.因为AP→·BP→＝2，所以(AD→＋14AB→)·(AD→－34AB→)＝2，即AD→2－12AD→·AB→－316AB→2＝2.又因为AD→2＝25，AB→2＝64，所以AB→·AD→＝22.(2)b2＝cos2π12＋cos25π12＝cos2π12＋sin2π12＝1，所以|b|＝1，|a|＝2.由(3a＋b)·b＝－2，可得3a·b＋b2＝－2，故a·b＝－3.故cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－32×1＝－32.又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝5π6，故选C.思维升华(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．跟踪演练2(1)已知点A，B，C，D在边长为1的方格点图的位置如图所示，则向量AD→在AB→方向上的投影为()6A．－55B．－1C．－21313D.55(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE→·CB→的值为________；DE→·DC→的最大值为________．答案(1)A(2)11解析(1)不妨以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得AD→＝(－2,3)，AB→＝(4,2)，所以向量AD→在AB→方向上的投影为AD→·AB→|AB→|＝－225＝－55.故选A.(2)方法一分别以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t∈[0,1]，则DE→＝(t，－1)，CB→＝(0，－1)，所以DE→·CB→＝(t，－1)·(0，－1)＝1.因为DC→＝(1,0)，所以DE→·DC→＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，故DE→·DC→的最大值为1.方法二由图知，7无论E点在哪个位置，DE→在CB→方向上的投影都是CB＝1，∴DE→·CB→＝|CB→|·1＝1，当E运动到B点时，DE→在DC→方向上的投影最大即为DC＝1，∴(DE→·DC→)max＝|DC→|·1＝1.热点三平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．例3已知函数f(x)＝2cos2x＋23sinxcosx(x∈R)．(1)当x∈[0，π2)时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝3，f(C)＝2，若向量m＝(1，sinA)与向量n＝(2，sinB)共线，求a，b的值．解(1)f(x)＝2cos2x＋3sin2x＝cos2x＋3sin2x＋1＝2sin(2x＋π6)＋1，令－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z，解得kπ－π3≤x≤kπ＋π6，k∈Z，因为x∈[0，π2)，所以f(x)的单调递增区间为[0，π6]．(2)由f(C)＝2sin(2C＋π6)＋1＝2，得sin(2C＋π6)＝12，而C∈(0，π)，所以2C＋π6∈(π6，13π6)，所以2C＋π6＝56π，解得C＝π3.因为向量m＝(1，sinA)与向量n＝(2，sinB)共线，所以sinAsinB＝12.8由正弦定理得ab＝12，①由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosπ3，即a2＋b2－ab＝9.②联立①②，解得a＝3，b＝23.思维升华在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．跟踪演练3已知平面向量a＝(sinx，cosx)，b＝(sinx，－cosx)，c＝(－cosx，－sinx)，x∈R，函数f(x)＝a·(b－c)．(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)若fα2＝22，求sinα的值．解(1)因为a＝(sinx，cosx)，b＝(sinx，－cosx)，c＝(－cosx，－sinx)，所以b－c＝(sinx＋cosx，sinx－cosx)，f(x)＝a·(b－c)＝sinx(sinx＋cosx)＋cosx(sinx－cosx)．则f(x)＝sin2x＋2sinxcosx－cos2x＝sin2x－cos2x＝2sin2x－π4.则当2kπ＋π2≤2x－π4≤2kπ＋3π2，k∈Z，即kπ＋3π8≤x≤kπ＋7π8，k∈Z时，函数f(x)为减函数．所以函数f(x)的单调递减区间是kπ＋3π8，kπ＋7π8，k∈Z.(2)由(1)知，f(x)＝2sin2x－π4，又fα2＝22，则2sinα－π4＝22，sinα－π4＝12.因为sin2α－π4＋cos2α－π4＝1，9所以cosα－π4＝±32.又sinα＝sinα－π4＋π4＝sinα－π4cosπ4＋cosα－π4sinπ4，所以当cosα－π4＝32时，sinα＝12×22＋32×22＝2＋64；当cosα－π4＝－32时，sinα＝12×22－32×22＝2－64.1．如图，在△ABC中，AD→＝13AB→，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N，设AB→＝a，AC→＝b，用a，b表示向量AN→.则AN→等于()A.12(a＋b)B.13(a＋b)C.16(a＋b)D.18(a＋b)押题依据平面向量基本定理是向量表示的基本依据，而向量表示(用基底或坐标)是向量应用的基础．答案C解析因为DE∥BC，所以DN∥BM，则△AND∽△AMB，所以ANAM＝ADAB.因为AD→＝13AB→，所以AN→＝13AM→.因为M为BC的中点，所以AM→＝12(AB→＋AC→)＝12(a＋b)，10所以AN→＝13AM→＝16(a＋b)．故选C.2．如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，BF→＝2FO→，则FD→·FE