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一般地,实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,它的长度和方向规定如下:(1)|λa|=|λ||a|(2)当λ0时,λa的方向与a方向相同;当λ0时,λa的方向与a方向相反;特别地,当λ=0或a=0时,λa=0设a,b为任意向量,λ,μ为任意实数,则有:①λ(μa)=(λμ)a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角。OBAθ当θ=0°时,a与b同向;OAB当θ=180°时,a与b反向;OABB当θ=90°时,称a与b垂直,记为a⊥b.OAab我们学过功的概念,即一个物体在力F的作用下产生位移s(如图)θFS力F所做的功W可用下式计算W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角从力所做的功出发,我们引入向量“数量积”的概念。已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·ba·b=|a||b|cosθ规定:零向量与任一向量的数量积为0向量的数量积是一个数量,那么它什么时候为正,什么时候为负?a·b=|a||b|cosθ当0°≤θ<90°时a·b为正;当90°<θ≤180°时a·b为负。当θ=90°时a·b为零。设ba、是非零向量,be是与方向相同的单位向量,ea与是的夹角,则cos||)1(aeaae0)2(baba|;|||)3(bababa同向时,与当|;|||bababa反向时,与当特别地2||aaaaaa||或2aOABθabB1||||cosabab解:a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×(-1/2)=-10例1已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°,求a·b。练习:1.若a=0,则对任一向量b,有a·b=0.2.若a≠0,则对任一非零向量b,有a·b≠0.3.若a≠0,a·b=0,则b=04.若a·b=0,则a·b中至少有一个为0.5.若a≠0,a·b=b·c,则a=c6.若a·b=a·c,则b≠c,当且仅当a=0时成立.7.对任意向量a有22||aa√×××××√二、平面向量的数量积的运算律:数量积的运算律:cbcacbabababaabba))(3()()())(2()1(其中,cba、、是任意三个向量,R注:)()(cbacba例2:求证:(1)(a+b)2=a2+2a·b+b2;(2)(a+b)·(a-b)=a2-b2.证明:(1)(a+b)2=(a+b)·(a+b)=(a+b)·a+(a+b)·b=a·a+b·a+a·b+b·b=a2+2a·b+b2.例3、2)(3)abab求(。||6,||4,abab已知与60,o的夹角为解:5.||3,||4,abkakbakb例已知当且仅当为何值时,向量与互相垂直?练习:)(,2432,1||||1cbacabacbakbakbababa求证:是非零向量,且、设的值。互相垂直,求也与且、若小结:1、已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·ba·b=|a||b|cosθ设ba、是非零向量,be是与方向相同的单位向量,ea与是的夹角,则cos||)1(aeaae0)2(baba|;|||)3(bababa同向时,与当|;|||bababa反向时,与当特别地2||aaaaaa||或2aOABθabB1||||cosabab2作业:P108T1、2、3
本文标题:平面向量数量积及其几何意义
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