平面向量数量积及其几何意义

一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|=|λ||a|(2)当λ0时,λa的方向与a方向相同；当λ0时,λa的方向与a方向相反；特别地，当λ=0或a=0时,λa=0设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：①λ(μa)=(λμ)a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角。OBAθ当θ＝0°时，a与b同向；OAB当θ＝180°时，a与b反向；OABB当θ＝90°时，称a与b垂直，记为a⊥b.OAab我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·ba·b=|a||b|cosθ规定:零向量与任一向量的数量积为0向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？a·b=|a||b|cosθ当0°≤θ＜90°时a·b为正；当90°＜θ≤180°时a·b为负。当θ=90°时a·b为零。设ba、是非零向量，be是与方向相同的单位向量，ea与是的夹角，则cos||)1(aeaae0)2(baba|;|||)3(bababa同向时，与当|;|||bababa反向时，与当特别地2||aaaaaa||或2aOABθabB1||||cosabab解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）=－10例1已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。练习：1．若a=0，则对任一向量b，有a·b=0．2．若a≠0，则对任一非零向量b,有a·b≠0．3．若a≠0，a·b=0，则b=04．若a·b=0，则a·b中至少有一个为0．5．若a≠0，a·b=b·c，则a=c6．若a·b=a·c,则b≠c,当且仅当a=0时成立．7．对任意向量a有22||aa√×××××√二、平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：cbcacbabababaabba))(3()()())(2()1(其中，cba、、是任意三个向量，R注：)()(cbacba例2：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.例3、2)(3)abab求（。||6,||4,abab已知与60,o的夹角为解:5.||3,||4,abkakbakb例已知当且仅当为何值时，向量与互相垂直？练习：)(,2432,1||||1cbacabacbakbakbababa求证：是非零向量，且、设的值。互相垂直，求也与且、若小结：1、已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·ba·b=|a||b|cosθ设ba、是非零向量，be是与方向相同的单位向量，ea与是的夹角，则cos||)1(aeaae0)2(baba|;|||)3(bababa同向时，与当|;|||bababa反向时，与当特别地2||aaaaaa||或2aOABθabB1||||cosabab2作业：P108T1、2、3