第五章 计算机实时控制系统的设计3(根轨迹法)

§5.3Z平面根轨迹设计11.Z平面的根轨迹计算机控制系统经过Z变换以后，可表示为图5.12所示图5.12计算机控制系统其中：为零阶保持环节与被控对象的组合Z传递函数.为数字控制器Z传递函数。()DGzY(z)()Gz()DGzZ平面根轨迹定义为：当系统的某个参数（如开环增益)）由零到无穷大变化时，其闭环特征根的集合。该系统的闭环Z传递函数为闭环系统的特征方程式为（5.62）()()()()()1()()DDGzGzYzKzRzGzGz1()()0DGzGz将系统的开环Z传递函数写成零极点形式(5.63)式中和分别为开环零极点数，m为零点数，n为极点数，K为根轨迹增益。11()()()()mjjDniiKzzGzGzzpjzip根据（5.62）特征方程式，根轨迹特征方程为即上式可表示为模值方程和相角方程：()()1DGzGz11()1()mjjniiKzzzp（5.64）11||||niimjjzpKzz及（5.65）其中()()11(21)jjmnzzzpjik0,1,2,k（5.65）式决定闭环系统根轨迹的充分必要条件,而(5.64)式主要是确定根轨迹上各点对应的开环增益值.根轨迹法是一种图解法,在已知系统开环传递函数零丶极点分布的情况下,研究系统的某个参数变化时,对闭环传递函数极点分布的影响(闭环极点能决定系统的稳定与否。)Z平面上根轨迹的特点：（1）Z平面极点的密集度很高（因为无限大的S左半平面映射到有限的单位圆内），Z平面上2个很接近的极点，对应的系统性能却有较大的差别，因此，要求根轨迹的计算精度较高，如表5.2所示。（2）在S平面中，临界放大系数是由根轨迹与虚轴的交点求得，Z平面的临界放大系数则由根轨迹与单位圆的交点求得。（3）在离散系统中，只考虑闭环极点位置对系统动态性能的影响是不够的，还需考虑零点对动态响应的影响。()sTze1101015100150jjS平面极点位置Z平面极点位置T=1T=0.1T=0.01T=0.0010.360.0000450.000045∠±139.5º0∠±45º0.9050.3680.368∠±86º0.000045∠±139.5º0.990.9050.905∠±8.6º0.368∠±85º0.9990.990.99∠±0.86º0.905∠±8.6º表5.2Z平面极点的密集度、2.系统的动态指标和Z域极点位置的关系以二阶系统为例（高阶系统可近似二阶系统）(5.66)其特征根为222()01()2nnnYsRsss21,21nnSj其实部和虚部的绝对值分别为：(5.67)（5.68）Re()ns2Im()1ns动态指标•单位阶跃响应：22()1sin(1arccos)1nwtneytwt•超调量：•上升时间：arccosIm()rts•峰值时间：Im()pts•调节时间（5%误差带）：3.5Re()sts%100%21/e设计方法•根据性能指标（即、n等）完全可以确定S平面上主导极点位置范围，进而根据确定Z平面极点位置的范围。•在Z平面上，有3条典型轨迹：等ξ线——对数螺旋线，等Re(s)线——同心圆，等Im(s)线——射线所包围的区域，则应满足给定的动态指标要求。sTze等ξ线•根据超调量σ%指标要求，由式（5.70）式，可确定阻尼比ξ的值。在S平面，阻尼比相同的特征根轨迹是从原点出发的射线，且与负实轴的夹角为等ξ线映射至Z平面，则为对数螺旋线（见图5.13）。arccos等Re(s)线•根据调节时间指标要求，由式（5.73）,可得平面实部绝对值，映射至Z平面,其特征根的模应为：即为同心圆.Re()TsRe等Im(s)线•根据峰值时间或上升时间要求，均可求到S平面特征根的虚部（式(5.71)或式（5.72），映射至Z平面，其特征根相角则是通过原点的射线。例5.3•设计算机控制系统的采样周期T=0.5s,要求系统的品质指标为：试确定Z域主导极点所在位置.%17%,2.3,1.7srtsts例5.3解%(570),0.5;代入式求得(573),Re()1.52;sts代入式求得(571),Im()1.232rts代入式求得Re()0.467TsReIm()35.3Ts图示设计思路•根轨迹法实质上是一种闭环极点的配置技术，也即通过反复试凑的办法，设计控制器的结构和参数，使整个闭环系统的主导极点配置在期望的位置上。设计步骤•第1步根据给定的时域指标，在Z平面画出期望极点的允许范围。•第2步设计数字控制器D(z)•第3步进行数字仿真研究，检验闭环系统的动态响应。第1步期望极点的允许范围•如前分析二阶主导极点范围的方法•必须指出，即使将希望的闭环极点配置在允许域之内，仍有可能出现系统的动态性能不满足指标要求。这是因为–离散系统脉冲传递函数的零点数多于对应的连续系统，因为系统的性能还受零点的影响；–所得极点范围是按二阶系统的品质指标近似给制的。而实际系统经常是高于二阶的，高阶系统的响应尽管主要取决于它的一对主导极点，但其他非主导极点也有一定的影响。第2步设计数字控制器D(z)（a）求出组合对象脉冲传递函数，即1()()sTpeGzZGss（b）试探法确定控制器D(z)的结构形式，常用的控制器有相位超前及相位滞后的一阶形式，其脉冲传递函数为()ccczzDzKzp其中，zc为实零点、pc为实极点Kc选取•目的：数字控制器不影响系统的稳态性能，即11cccpKz1()|1zDz零、极点关系•zcpc：相位超前控制器,又可称为高通滤波器，这时Kc1•Zcpc：是相位滞后控制器，又可称为低通滤器，这时Kc1•它们与相应的连续控制器的零、极点相对位置是一致的。控制器零、极点分布图示试凑法•在设计中，要根据系统性能要求，确定控制器的零极点和位置（超前或滞后），再根据开环脉冲传递函数D(z)G(z)的零极点绘出闭环根轨迹，直至其进入期望的闭环极点允许范围。在允许域中选择满足静态指标要求的根轨迹段作为闭环工作的选择区间。•然后进入第3步进行数字仿真研究，检验闭环系统的动态响应。反复试凑，直至满足要求。设计举例：例5.4•某数字随动系统，被控对象的传递函数是()(0.21)pkGsss•采样周期T=0.2s,试设计一数字控制器,使系统满足下列品质指标:%15%0.55rts1sts3vK(a)超调量(b)上升时间(c)调节时间(d)静态速度误差系数控制系统结构图No.1期望的闭环极点允许范围0.5173.5Re()sstRe()3.5sRe()0.5TsRecosIm()rarcstIm()3.844sIm()44Ts21/%e图示No.2设计数字控制器D(z)（a）写出组合被控对象的脉冲传递函数1()(0.21)0.71820.07355(1)(0.3678)sTekGzZssszkzz（b）进行第1次试探，令D(z)=1，此时系统的开环传递函数为0.07355(0.7182)(0.7182)()()(1)(0.3678)(1)(0.3678)kzzDzGzkzzzz其中，根轨迹增益0.07355Kk画出闭环根轨迹，由图可见，系统的闭环根轨迹不能穿过允许域，因而不可能满足动态品质要求。第2次试探•令0.3678()czDzKz式（5.79）中采用D(z)的零点对消被控对象在0.3678的极点,同时配置了一个位于原点的新极点,以伸进根轨迹左移,进入允许域。这时，对消后的开环传递函数为(0.7182)(0.7182)()()0.07355(1)(1)czzDzGzkKKzzzz闭环根轨迹确定根轨迹增益•根据1111(0.7182)lim(1)()()lim(1)3(1)vzzKzKzDzGzzTTzz•选取主导极点：0.349K•可得1.20.320.391zj•得：0.357K•为使：|1|()1zDz1.5188cK•系统的开环增益：3.0720.07355cKkKNo.3数字仿真验证%8%,0.4,1rststs检验合格